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SPOC学校专有课程
2020春《微积分(甲)Ⅱ》-薛儒英
第1次开课
开课时间: 2020年02月24日 ~ 2020年06月22日
学时安排: 3-5
当前开课已结束 已有 386 人参加
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—— 课程团队
课程概述

《微积分》是以函数为研究对象,运用极限手段(如无穷小与无穷逼近等极限过程),分析处理问题的一门数学学科,学时数为96学时.教学内容有:无穷级数、矢量代数与空间解析几何、多元函数的微分学、多元函数的积分学、场论初步.课程将采用讲授与讨论相结合的方法。


课程大纲


面向对象:本科一年级,全校除数学专业理学类、工学类或社科类等

一、教学目的与基本要求

通过本课程的教学,使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论、基本方法和具有比较熟练的运算技能,为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础;并使学生受到高等数学的思想方法熏陶和运用它们解决实际问题的基本训练;培养学生具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及综合运用所学知识进行分析、解决实际问题的能力。

二、主要内容及学时分配:总学时数为96,一个长学期完成,学分为:4.5

(四)矢量代数与空间解析几何

    1.矢量(向量)的概念及其几何表示,矢量的运算(加法、数乘、点乘和叉乘等)及其几何意义。空间直角坐标系,两点间的距离,矢量的坐标表示,用矢量的坐标表示作运算。两个矢量垂直与平行(共线)的条件。三矢量的混合积及其几何意义,三矢量共面的条件。

 2.平面方程,直线方程的几种形式,平面和直线相互的位置关系判断。曲面方程的概念,常用的球面、柱面、锥面及旋转面的方程。空间曲线的一般方程与参数方程,空间曲线向坐标平面投影的投影柱面和投影曲线方程。二次曲面的标准方程及其图形。

          (五)多元函数的微分学

    1 维欧氏空间相关概念,多元函数的概念,多元函数(特别是二元函数)的极限与连续性的概念,在有界闭区域上连续函数的性质:有界性、最大最小值定理、介值定理等(均不证)。

 2.偏导数的概念及其几何意义。高阶偏导数的概念,混合偏导数与求导次序无关的定理。全增量公式,复合函数的求导法(链式法则)。隐函数存在定理(不证)及隐函数的求导法。全微分的概念及计算法。函数可微与函数偏导数存在、函数连续等的相互关系。一阶微分形式的不变性。利用全微分作近似计算或误差估计等。

 3.二元函数泰勒定理。多元函数的极值概念,多元函数极值存在的必要条件,二元函数极值存在的充分条件。最大(小)值的求法。条件极值概念与拉格朗日(Lagrange)乘数法。空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

4.向量函数、向量场的概念及其极限、连续和导数等概念与意义。方向导数和梯度的概念及其计算法。

(六)多元函数的积分学

    1.二重积分的概念及其几何意义与物理意义,二重积分的基本性质(包括积分中值定理),二重积分的计算法(在直角坐标、极坐标系下)。二重积分的一般变量替换法(不证)。二重积分在几何上(平面图形面积、立体体积等)和物理上(平面薄片的质量、转动惯量、重心等)的应用。

2.三重积分的概念与性质,三重积分的计算法(在直角坐标、柱坐标、球坐标系下)。三重积分的一般变量替换法(不证)。三重积分的应用(立体的体积、物体的质量、重心、转动惯量及引力等)。

3.空间曲线的弧长,第一类曲线积分的概念及计算方法。变力沿曲线作功,第二类曲线积分的概念及其计算方法。格林(Green )公式,平面曲线积分与路径无关的条件。平面非单连通区域上的曲线积分及循环常数。两类曲线积分的应用(曲线构件的质量、转动惯量、重心等以及力场沿曲线所作的功等)

4.曲面面积,第一类曲面积概念及计算方法。矢量场的流量,第二类曲面积分的概念及计算方法。高斯(Gauss)公式,斯托克斯(Stokes)公式,空间曲线积分与路径无关的条件。两类曲面积分的应用(曲面面积、曲面片的质量、转动惯量和重心等以及矢量场通过曲面的流量等)。

5.矢量场的流量与散度的概念及其计算方法。矢量场的环流量与旋度的概念及其计算方法。有势场、无源场及调和场的概念与性质。

(七)无穷级数

1.数项级数(收敛、发散、和)的概念。级数收敛的必要条件,收敛级数的线性运算。正项级数的收敛性判别法(比较判别法、比值判别法、根值判别法及其极限形式),几何级数与“-- 级数”的收敛性。交错级数的莱布尼兹判别法及其余项估计。绝对收敛与条件收敛的概念,绝对收敛与收敛的关系。绝对收敛级数的性质。   

2.函数项级数的收敛点、收敛域及和函数的概念。幂级数收敛性的阿贝尔(Abel)定理,幂级数的收敛半径存在定理(不证)。幂级数的收敛半径,收敛区间及收敛域的求法。幂级数在其收敛区间内和函数的基本性质:连续性、逐项积分与逐项求导(不证),幂级数的四则运算,幂级数求和函数,函数展开为幂级数(即泰勒级数展开)的唯一性,条件及展开方法。常用基本函数的麦克劳林(Maclaurin)展开式,泰勒展开在近似计算等方面的应用。

3.三角级数的概念,三角函数系及其正交性,函数的傅里叶级数展开,狄里克雷收敛性定理。函数展开成正弦级数、余弦级数。


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预备知识

《一元函数微积分》

参考资料

推荐教材或参考书

《微积分(下册)》,卢兴江、陈锦辉、戴俊飞、蔡云编,浙江大学出版社,20168月;

《微积分》,苏德矿、吴明华、金蒙伟、杨起帆,高等教育出版社20007月;

《微积分(下册)》,卢兴江、金蒙伟主编,浙江大学出版社,20118月;

《高等数学》,同济大学数学教研室,高等教育出版社,19997月;

 


源课程

该SPOC课程部分内容来自以上源课程,在源基础上老师进一步增加了新的课程内容

浙江大学
1 位授课老师
薛儒英

薛儒英

副教授

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