高等数学作为高等院校理工科各专业的一门非常重要的基础理论课,其研究对象为函数,研究内容为函数的导数、微分和积分。该课程的知识结构是首先介绍极限的相关理论;通过函数极限引入导数和微分的概念,由微分中值定理和泰勒公式引出导数的应用;通过求导的逆运算引入不定积分,由曲边梯型面积求法结合数列极限引入定积分,进而介绍定积分的求法和应用。
本课程内容共分为五章,其中第一章函数、极限和连续分为13个知识点,第二章导数与微分有6个知识点,第三章中值定理和导数的应用包含11个知识点,第四章不定积分6个知识点,第五章定积分及其应用有10个知识点,共46段视频。
本课程教学团队成员在校级以上讲课比赛中获多项奖励,具体包括:
1.全国首届数学微课程教学设计竞赛,全国特等奖1项,全国二等奖1项,陕西赛区特等奖2项,陕西赛区特等奖1项,2015年;
2.陕西省首届青年教师教学技能讲课比赛一等奖1项,2012年;
3.西北大学青年教师讲课比赛一等奖3项,二等奖1项,2010-2016年;
4.西北大学教案展评一等奖1项,二等奖1项,2012-2014年.
完成所有课程视频的学习及线下课程的学习(10%);
完成课后习题册作业(10%);
完成期中考试(20%);
完成期末考试(60%);
总评成绩60-79分为合格,80-89分为良好,90分以上为优秀。
一、函数,极限与连续
1、函数
理解函数的概念;掌握函数的表示方法。
理解复合函数的概念,了解反函数与隐函数的概念。
了解函数的以下性质:有界性、单调性,奇偶性与周期性。
掌握基本函数的性质及其图形。
了解基本函数的概念,双曲函数与反双曲函数的概念。
会建立简单应用问题中的函数关系式。
2、极限
理解数列极限的定义,函数极限的定义。
理解函数左右极限的概念以及极限存在与左右极限之间的关系。
掌握极限性质及四则运算法则,并会用极限的复合运算法则及不等式运算法则。
掌握数列收敛的条件:必要条件----唯一性及有界性。
掌握数列收敛的充分条件:----夹逼准则及单调有界原理。
掌握两个重要极限及利用求极限的方法。
理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念,并会用等价无穷小求极限。
3、连续
理解函数连续性的概念,并会用判别间断点的类型。
掌握和、差、积、商的连续性,了解反函数与复合函数的连续性。
理解基本初等函数的连续性,了解初等函数的连续性。
理解连续函数的性质:闭区间上连续函数的价值定理,最大值最小值定理。
二、导数与微分
理解导数的概念和几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,理解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的联系。
掌握导数的四则运算法则,掌握基本初等函数的求导公式。
会复合函数、反函数的求导法则,会用隐函数的求导法则及对数求导法,会求由参数方程及极坐标方程所给定的函数的导数。
理解高阶函数的概念,会求某些简单函数的n阶导数。会求分段函数的一、二阶导数。
理解微分的概念,了解微分的几何意义。掌握微分的四则运算法则,了解一阶微分的形式不变性。
了解微分在近似运算及误差估计中的作用。
三、中值定理与导数应用
理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理,了解并会用柯西定理。
理解并会用泰勒(Taylor)定理.
掌握洛比达(L’Hospital)法则求极限的方法。
掌握用导数判断函数的简单性和求函数极值的方法。掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
会用导数判断函数图形的凸凹性,会求函数图形的拐点,会求水平、垂直和斜渐近线,会描绘函数的图形。
*了解弧微分、曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径,会求两曲线的交角。
四、不定积分
理解原函数与不定积分的概念。
掌握不定积分的性质和基本积分公式。
掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。
会求有理函数、三角有理式及简单无理函数的积分。
五、定积分
理解定积分的概念和性质,理解定积分的可积性准则,理解定积分的中值定理。理解变上限定积分的概念和原函数存在定理,掌握牛顿(Newton)莱布尼兹(Leibniz)公式。
掌握定积分的换元法与分部积分法。
*了解定积分的近似计算法。
掌握用定积分表示一些物理量:变力作功,平面块、平面曲线弧长,旋转体的体积与侧面积,平行截面面积为已知的立方体体积等。
掌握用定积分表示一些物理量:变力作功,平面块、平面曲线弧的质量中心,转动惯量、引力、压力等。
掌握用定积分求函数的平均值的方法。
集合,基本初等函数(包括幂函数,指数函数,对数函数,三角函数),数列,不等式,立体几何,平面解析几何等高中数学知识。
1.同济大学数学系编,《高等数学》第七版,北京:高等教育出版社,2014.
2.四川大学数学学院高等数学教研室编,《高等数学》第四版,北京:高等教育出版社,2009.
3. Γ. M. 菲赫金哥尔茨 著,杨弢亮,叶彦谦 译,《微积分学教程》第八版,北京:高等教育出版社,2006.
4.龚冬宝等编,《高等数学典型题》第三版,西安:西安交通大学出版社,2008.
5.西北工业大学高等数学教研室编,《高等数学学习辅导—问题、解法、常见错误剖析》,北京:科学出版社,2007.