hi,小慕
数学分析(三)
第10次开课
开课时间: 2025年04月13日 ~ 2025年08月28日
学时安排: 3-5小时每周
进行至第15周,共20周 已有 193 人参加
立即参加
课程详情
课程评价(38)
spContent=《数学分析》是数学专业最重要的专业基础课,开设周期长,知识含量多,技能要求高,内容丰富,体系严密,是所有后继课程学习的基础,是数学专业研究生入学考试必考课程。既是连接初等数学与现代数学的桥梁,又是现代数学的基础,本课程依据基础课学习和考研复习的不同需求,进行了内容分层设计,基本理论、方法部分可以满足基础课程的学习需求。疑难问题解析、考研要点综述和考研真题选讲部分可以满足复习考试的学习需求。
《数学分析》是数学专业最重要的专业基础课,开设周期长,知识含量多,技能要求高,内容丰富,体系严密,是所有后继课程学习的基础,是数学专业研究生入学考试必考课程。既是连接初等数学与现代数学的桥梁,又是现代数学的基础,本课程依据基础课学习和考研复习的不同需求,进行了内容分层设计,基本理论、方法部分可以满足基础课程的学习需求。疑难问题解析、考研要点综述和考研真题选讲部分可以满足复习考试的学习需求。
—— 课程团队
课程概述

“数学分析”是数学专业开设周期最长的课程,又是数学学习的基础课程,内容涵盖实数理论、极限与连续、导数与微分、积分、无穷级数、多元函数微分、含参量积分、曲线积分、重积分、曲面积分等众多内容,学完整个课程一般需要三个学期。为了便于学习者学习,我们将“数学分析”分为数学分析(一)、“数学分析(二)”、“数学分析(三)”和“数学分析(四)”4个板块进行。每个板块的学习时间大约为8-10周.

“数学分析(三)”的教学内容包括:多元函数的微分学、隐函数定理与应用、重积分、曲线积分。课程目标是通过系统学习和相关的数学训练,使学生逐步提高数学修养和数学学习能力,掌握数学的基本思想方法,打好理论基础为后继学习做准备,最终使学生的数学思维能力得到根本的提高.

本课程中有关数学分析的经典内容参照华东师大数学系编写的《数学分析》教材,配合其他通用数学分析教材,博采众家之长,并对教学内容体系进行了调整和改革,以适应普通高校和大众化高等教育背景下学生的学习要求.用新的理论和方法处理教学难点.以一般的理论和方法统筹处理具体的、特殊的教学内容,优化内容结构.

 课程特色

1面向普通高校、适合大众化学习需求

针对大众化高等教育背景下学生的学习要求,遵循由浅入深,由具体到抽象,逐步提高的教学思想,设计教学内容,力求简明扼要,通俗易懂,帮助同学们尽快提升数学修养、分析问题和解决问题的能力,掌握数学分析的基本思想方法和基本技能,高质量的学好数学分析这门至关重要的专业基础课程.

2精选细讲、破解难点

通过精讲数学分析基本理论、基本方法,分析疑难问题和考研要点,精选细讲考研真题和经典例题,为进一步学习和研究打下坚实的理论基础。注重方法、技能和逻辑思维的训练与培养,通过大量不同层次、不同难度、不同类型的习题、测试题,培养学生逻辑思维的严密性.

3知识传授、学习辅导、创新训练三位一体

充分利用课程平台容量大的信息优势,将电子教案、视频讲解、在线讨论、在线作业、在线测验融为一体.为学习者搭建方便快捷,容经典理论学习、网络在线学习、解题分析、课后思考、巩固提高、解题训练于一体的数学分析学习与技能训练平台,供不同要求的学习者选择,为混合翻转教学的教师提供教学空间和教学资源.

授课目标

课程目标是通过系统学习,接受系统的数学训练,使学生逐步提高数学修养和数学学习能力,特别是分析的修养,掌握数学的基本思想方法,积累从事进一步学习所需要的数学知识,打好理论基础为后继学习做准备; 最终使学生的数学思维能力得到根本的提高。

课程大纲
第一单元:多元函数的可微性与计算方法
课时目标:本单元学习多元函数的可微性与计算方法。理解偏导数、全微分的概念及几何意义,熟练掌握偏导数、全微分、方向导数的计算方法。理解掌握偏导数存在、可微性、连续性、偏导函数连续之间的因果关系及这些关系的推导过程,并通过一些典型反例加深理解。了解微分近似计算中的应用。
1.1.1可微性与全微分
1.1.2 偏导数
1.1.3 可微性条件
1.1.4 可微性的几何意义
1.2.1 复合函数的求导法则
1.2.2复合函数的求导例题
1.3.1复合函数的全微分与应用
1.3.2方向导数与梯度
1.4.1 疑难解析
1.4.2 考点分析
1.4.3 考题选讲
第一单元讨论题
单元测验
第一单元作业题
第二单元:多元函数的微分与极值问题
课时目标:本单元学习高阶偏导数、多元函数的泰勒公式和极值问题。熟练掌握多元函数高阶偏导数的计算方法,多元函数泰勒公式展开方法和极值判定。
2.1.1 高阶偏导数
2.1.2 高阶偏导数求导顺序无关条件
2.1.3 复合函数的高阶偏导数
2.2.1 多元函数的中值定理
2.2.2 多元函数的泰勒公式
2.3.1 多元函数的极值问题
2.3.2 多元函数极值问题例题
2.4.1 疑难解析
2.4.2 考点分析
2.4.3 考题选讲
第二单元思考题
单元测验
第二单元作业题
第三单元:隐函数定理
课时目标:本单元讨论隐函数和隐函数组的相关问题及其性质,掌握隐函数、隐函数组以及反函数组存在的条件和结论,理解隐函数定理的证明,熟练掌握隐函数导数、偏导数的求法,条件极值的额判定及求法,掌握曲线的切线、法平面;曲面的切平面、法线的求法。
3.1.1 隐函数条件分析
3.1.2 隐函数定理的证明
3.1.3 隐函数可微性定理
3.1.4 隐函数求导例题
3.2.1 隐函数组定理
3.2.2 隐函数组定理例题
3.2.3 反函数组与坐标变换
3.3.1 几何应用(一)
3.3.2 几何应用(二)
3.3.3 几何应用(三)
3.4.1 拉格朗日乘数法
3.4.2 应用举例
3.4.3 应用举例(二)
3.5.1 疑难解析
3.5.2 考点综述
3.5.3 考题选讲(一)
3.5.4 考题选讲(二)
第三单元:讨论题
单元测验
第三单元作业
第四单元:二重积分
课时目标:本单元学习二重积分的定义和计算方法。通过学习能够理解二重积分的定义、性质、二重积分的变量替换公式及其证明,熟练掌握二重积分重积分计算方法、极坐标变换和广义极坐标变换方法。
4.1.1 平面图形的面积
4.1.2 二重积分的定义
4.1.3 二重积分的性质
4.2.1 矩形区域上二重积分计算
4.2.2 x 型或 y 型区域上二重积分计算
4.2.3 一般区域上二重积分的计算
4.3.1 面积变换公式
4.3.2 变量替换公式
4.3.3 极坐标变换
4.3.4 极坐标变换例题与广义极坐标变换
4.4.1 二重积分疑惑解析
4.4.2 二重积分要点分析
4.4.3 二重积分考题选讲
第四单元:二重积分讨论题
单元测验
第四单元作业
第五单元:三重积分
课时目标:本单元学习三重积分,。通过学习能够理解三重积分定义与性质,熟练掌握 三重积分的换元法(柱坐标变换、球坐标变换与一般变换)、重积分应用(体积、曲面面积、重心、转动惯量等计算问题)。
5.1.1 三重积分的概念
5.2.1 化三重积分为累次积分例题与三重积分换元法
5.2.2 球坐标变换
5.3.1 曲面的面积
5.3.2 物理应用
5.4.1 疑难解析
5.4.2 考点分析
5.4.3 考题选讲
第五单元:三重积分讨论题
第五单元讨论题
第五单元单元测验
第五单元作业
第六单元: n重积分和反常重积分
课时目标:本单元学习 n重积分和反常重积分,通过学习掌握n重积分的定义、基本性质和基本的计算方法。理解反常重积分的概念和一致收敛性,理解反常反常重积分一致收敛性充要条件的证明方法。
6.1.1 n重积分的定义与计算(一)
6.1.2 n重积分的计算(二)
6.2.1 反常二重积分的概念
6.2.2 反常二重积分收敛充要条件
6.3.1 疑难解析
6.3.2考点分析
6.3.3 考题选讲
第六单元讨论题
单元测验
第六单元作业
第七单元:曲线积分
课时目标:本单元学习曲线积分,理解曲线积分的定义,熟练掌握曲线积分的计算公式,了解两类曲线积分的联系。理解格林公式的意义和作用,并能熟练应用。
7.1.1 第一型曲线积分的概念
7.1.2第一型曲线积分的计算
7.2.1 第二型曲线积分的概念
7.2.2 第二型曲线积分的计算
7.3.1 格林公式
7.3.2 曲线积分与路线的无关性
7.3.3 曲线积分与路线的无关性例题
7.4.1 疑难解析
7.4.2 考点分析
7.4.3 考题选讲
第七单元讨论题
单元测验
第七单元作业
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预备知识

具备本在线课程《数学分析》(一)和 《数学分析》(二)所要求的数学知识和技能。

参考资料

1.《微积分学教程(第八版)》 菲赫金哥尔茨 高等教育出版社 推荐理由: 数学分析经典权威教材, 论述严谨, 内容全面, 例题丰富, 对希望全面、深入掌握数学分析理论的学生是一本很好的参考书。 2. 《数学分析(第四版)》 华东师范大学数学系 高等教育出版社 推荐理由: 国内较有影响的数学分析教材,是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果,是面向21世纪课程教材,普通高等教育“九五”国家教委重点教材,该教材选材精练、内容适中、结构合理、 思路清晰、论述清楚,可读性强。 另外, 该教材的习题配置难易适中,紧密结合课程内容,能够帮助学生进一步理解和掌握所学课程内容,而且附有答案,便于学生自学。 3.《数学分析讲义》 刘玉琏、傅沛仁、林玎、苑德馨、刘宁, 高等教育出版社 推荐理由: 本书阐述细致,引进概念注意讲清实际背景,定理证明、公式推演作了必要的分析,通俗易懂,便于自学。 4.《数学分析》 北大数学系方企勤、沈燮昌、廖可人等 高等教育出版社 推荐理由: 本书论述细致,引进概念注意讲清实际背景,定理证明、公式推演作了必要的分析,并提出一些值得思考的问题;通过大量不同类型例题,介绍解题基本方法和特殊技巧。全书还配有习题集一册,其中有不少有一定难度、技巧性较高的习题,对于培养分析问题、解决问题、进一步提高数学分析素养有很好的作用。 5. 《数学分析中的典型问题与方法》 裴礼文 高等教育出版社 推荐理由: 书中系统地汇集了数学分析中各个部分的一些典型例题和习题,并着重于分析解题的思路和方法,同时选用了大量研究生入学试题、国外高校竞赛试题,并进行分析讲解。书中题目具有很强的典型性、灵活性、启发性、趣味性和综合性,对于加深数学分析思想方法的理解、提高分析能力和数学素养非常有益。 6. 《数学分析(第一卷、第二卷)》 B.A.卓里奇著, 蒋铎、王昆扬、周美柯、等译 高等教育出版社 推荐理由: 本书在内容方面注重与其平行的以及后继的分析、代数、几何方面的现代数学课程之间的联系,重点讨论一般数学中最有本质意义的那些基本概念和方法,在保持数学一般理论叙述严谨性的同时,也充分体现其自然科学的源泉和应用, 可供较为优秀学生选读。7. 《数学分析学习指导书》吴良森、毛羽辉、韩士安、吴畏 编著,高等教育出版社。 8. 《数学分析解题精粹》钱吉林 等主编,崇文书局。《数学分析解题精讲》徐新亚 主编,同济大学出版社。

常见问题

学习过程中需要注意的问题:

1、《数学分析》课程抽象度高,逻辑性强,对初学者来说有一定难度,所以学习过程中要仔细体会视频中的讲解,可以通过必要的记录,调整视频播放速度等方式促进对教学内容的理解。注意在观看视频时,有多种播放速度可供选择,可选择适合你自己的播放速度。

2、大学学习不同于中学的学习,要特别注意学习的连贯性、逻辑推理的严密性,关注定理的证明过程,例题的解题方法,学会逻辑推理,用准确、精炼的数学语言呈现证明过程。

江苏师范大学
1 位授课老师
朱江

朱江

教授

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