spContent=本课程是理工科专业的一门重要必修课。它与一些专业的后续课，如电路原理、电路分析、信号与系统、信息处理、自动控制原理等有一定的交叉。本门课程在构建知识体系、阐明基本原理的基础上，让你增长知识、丰富能力，为你搭建起通往学好后续专业课的桥梁和纽带，为你在研究领域精耕细作奠定基础。
本课程是理工科专业的一门重要必修课。它与一些专业的后续课，如电路原理、电路分析、信号与系统、信息处理、自动控制原理等有一定的交叉。本门课程在构建知识体系、阐明基本原理的基础上，让你增长知识、丰富能力，为你搭建起通往学好后续专业课的桥梁和纽带，为你在研究领域精耕细作奠定基础。
—— 课程团队
课程概述
“复变函数论”被数学家誉为“抽象科学中最和谐的理论之一”，它不仅给数学的许多分支提供了重要的工具，而且在自然科学和工程技术的实际应用领域有着广泛的应用。尤其是系统分析、信号分析与处理、量子力学、相对论、流体力学、弹性理论、平面热传导等问题。“积分变换”是一种不可缺少的运算工具，在通信、信号分析、电力工程、控制领域、语音识别及图像处理等方面有着广泛的应用。
本课程较系统、完整的讲解“复变函数与积分变换”理论的基本内容，包括复变函数的概念、解析函数概念、复变函数的积分、解析函数的级数表示、留数理论、傅里叶变换、拉普拉斯变换等。讲解的过程中注重数学思想传授与数学思维培养，突出体现具有数学思想内涵的基本定理的证明，简化过于繁琐的一般定理的证明，课程主体框架明确，内容由浅及深，力求更容易被学习者所接受。
通过本门课的学习让学习者掌握“复变函数与积分变换”理论的同时，逐步培养学习者具有比较熟练的基本运算能力、一定程度的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和一定程度的自学能力、独立获取知识的能力，以及具备运用数学知识，解决实际问题的能力。为学习后继课程以及进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
授课目标
授课目标：
1.通过本课程的学习，使学习者熟练掌握“复变函数与积分变换”的基本理论，其中包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数表示、留数与留数的应用、傅里叶变换、拉普拉斯变换等内容。
2.学习者能够借助于“复变函数与积分变换”的基本理论解决本专业后续专业课所遇到的相关数学问题。
成绩 要求
单元作业与作业互评占成绩的30%；
单元测验占成绩的40%；
期末考试占成绩的30%。
证书评定
按百分制计分，
合格证书：60～79分；
优秀证书：80～100分。
课程大纲
复数与复变函数
课时目标：1.掌握复数的基本运算、乘幂与方根；2.理解复平面与复球面；3.理解复变函数概念与复变函数的极限、连续性。重点：复数的辐角，用复数的各种表示法进行运算，复数代数运算的几何表示，复变函数极限与 连续的概念。难点：复数的辐角，复变函数极限的概念。
1.1复数的概念、复数的几何表示
1.2复数的代数运算、复数的代数运算的几何表示
1.3乘幂与方根
1.4复变函数
1.5复变函数的极限与连续性
解析函数
课时目标：1.理解复变函数可导与解析的概念。2.理解复变函数连续、可导、解析的关系。3.熟练掌握复变函数可导及解析的判别法。4.熟练掌握基本初等函数的定义与性质。重点：复变函数可导与解析的判别法，C-R方程，初等函数的概念与性质。难点：复变函数可导与解析的判别法，对数函数与幂函数。
2.1复变函数的导数与微分
2.2解析函数的概念
2.3解析函数的充要条件
2.4指数函数与对数函数
2.5幂函数、三角函数、双曲函数
复变函数的积分
课时目标：1.理解复变函数积分的概念，掌握复变函数积分的计算方法。2.熟练掌握柯西-古萨基本定理与复合闭路定理。3.熟练掌握柯西积分公式与高阶导数公式。4.了解解析函数与调和函数的关系。重点：柯西-古萨基本定理及复合闭路定理，柯西积分公式，高阶导数公式，定积分的计算。难点：复变函数积分的概念，复合闭路定理。
3.1复变函数的积分
3.2复积分存在的条件及计算方法与性质
3.3例题精讲
3.4柯西古萨基本定理
3.5原函数与不定积分
3.6复合闭路定理
3.7柯西积分公式
3.8解析函数的高阶导数
3.9调和函数、解析函数与调和函数的关系
级数
课时目标：1.理解复数项和复变函数项级数的一些基本概念与性质。2.掌握简单幂级数的收敛半径和收敛区域的求法。3.熟练掌握泰勒定理与洛朗定理。4.熟练掌握如何将解析函数在圆域内展开成泰勒级数及将解析函数在指定圆环域内展开成洛朗数的方法。重点：泰勒定理，洛朗定理。难点：求函数的泰勒展开式、洛朗展开式。
4.1复数项数列、复数项级数
4.2复数项数列及级数例题
4.3复变函数项级数、幂级数
4.4幂级数收敛半径与收敛圆
4.5幂级数的性质
4.6泰勒级数
4.7洛朗级数
4.8洛朗级数的展开
留数
课时目标：1.理解孤立奇点的概念与孤立奇点的分类以及函数在孤立奇点的留数概念。2.熟练掌握并能应用留数定理。3.掌握留数的计算方法，特别是奇点处留数的求法。4.熟练掌握应用留数求复变函数在闭曲线上积分的方法。重点：孤立奇点的分类，留数概念，留数定理。难点：留数定理，留数的计算与应用。
5.1孤立奇点
5.2零点与极点
5.3函数在无穷远点的性态
5.4留数与留数定理
5.5留数计算规则
5.6无穷远点处的留数
傅里叶变换
课时目标：1.掌握傅里叶级数的三角形式与指数形式。2.理解并掌握傅里叶变换及逆变换的概念。3.掌握傅里叶变换的性质，理解卷积与卷积定理。4.了解单位脉冲函数的定义，熟练掌握单位脉冲函数的基本性质。5.会计算一些典型信号和简单函数的频谱。重点：傅里叶变换及逆变换的概念，傅里叶变换的性质，卷积与卷积定理，单位脉冲函数的基本性质。难点：傅里叶变换及逆变换的概念，计算一些典型信号和简单函数的频谱。
6.1傅里叶级数
6.2傅里叶变换
6.3单位脉冲函数及其傅里叶变换
6.4傅里叶变换的性质
6.5卷积与卷积定理
6.6傅里叶变换的应用
拉普拉斯变换
课时目标：1.理解并掌握拉氏变换及其逆变换的概念。2.掌握拉氏变换的性质。3.熟练掌握拉式变换及其逆变换的方法。4.了解反演积分公式。5.熟练掌握应用拉式变换求解线性微分方程（组）的方法。重点：拉普拉斯变换，拉普拉斯变换的性质，卷积与卷积，拉普拉斯逆变换。难点：拉普拉斯变换的性质，拉普拉斯逆变换。
7.1拉普拉斯变换及其存在定理
7.2拉普拉斯变换的性质（一）
7.3拉普拉斯变换的性质（二）
7.4卷积与卷积定理
7.5拉普拉斯逆变换
7.6拉普拉斯变换的应用
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预备知识
参考资料
[1] 宋桂荣,丁蕾,陈岩．《复变函数与积分变换》（第一版）．机械工业出版社，2019.
[2] 西安交通大学高等数学教研室．《复变函数》（第四版）．高等教育出版社，1994.
[3] 张元林.《积分变换》（第四版）.高等教育出版社，2003.
浙公网安备 33010802012594号
