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SPOC学校专有课程
高等代数与解析几何2
第1次开课
开课时间: 2021年03月01日 ~ 2021年06月27日
学时安排: 4小时每周
当前开课已结束 已有 160 人参加
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—— 课程团队
课程概述

本课程是理科试验班和强基班的一门重要的数学基础理论课程。课程内容包括线性空间、线性变换、多项式矩阵、欧几里德空间等,目的是培养学生的代数演算能力、抽象思维能力和逻辑推理能力,正确领会相关的代数、几何方法,以提高抽象概括问题的能力和应用数学知识解决实际问题的意识,同时为学习后续课程及知识的自我更新奠定必要的代数、几何基础。

成绩 要求

总评成绩 = 平时成绩 + 期中考试成绩 + 期末考试成绩

各部分占比分别为:10%,25%,65%

课程大纲

1. 线性空间(约26学时)

(1) 理解线性空间的概念,熟悉线性空间的几何背景;

(2) 理解线性空间的基本性质;

(3) 理解线性空间中向量的线性组合、线性表示以及向量组的线性相关、线性无关的定义,熟练掌握判别向量组的线性相关性的方法;

(4) 理解线性空间中向量组的等价性的定义,理解线性空间中向量组的极大无关组及向量组的秩的定义;

(5) 理解线性空间的基、维数、坐标的定义,理解它们的基本性质;

(6) 理解坐标变换公式,熟练掌握基、维数、坐标及不同基之间的过渡矩阵的计算方法;

(7) 理解子空间的概念,理解由一些向量生成的子空间的性质;

(8) 掌握子空间的基的求法,理解基扩充定理;

(9) 理解子空间的和与交的定义,理解维数定理;

(10) 会求一些简单的交空间、和空间的基和维数;

(11) 理解子空间的直和的概念,熟练掌握用充要条件判别子空间的和是否为直和的方法;

(12) 理解同构的概念,会构造不同线性空间之间的同构映射

2. 线性变换(28学时)

(1) 理解线性变换的定义及其基本性质;

(2) 理解线性变换的加法、数乘和乘法运算的定义以及基本的运算性质;

(3) 理解线性变换在基下的矩阵的定义;

(4) 理解线性变换的运算与矩阵的相应的运算之间的关系;

(5) 理解线性变换的值域及核子空间的概念,掌握其求法;

(6) 理解线性变换的特征多项式、特征值及特征向量的概念,掌握它们的计算方法;

(7) 理解关于矩阵(线性变换)的Hamilton-Caylay定理,知道一些简单的应用;

(8) 理解最小多项式概念;

(9) 掌握用线性无关特征向量的个数判别矩阵及线性变换是否可对角化的方法;

(10) 理解最小多项式的概念及其基本性质,掌握用最小多项式判别矩阵及线性变换是否可对角化的方法;

(11). 理解线性变换的特征子空间的概念,掌握特征子空间的计算,会用特征子空间判别矩阵及线性变换是否可对角化的方法;

(12) 理解线性变换的不变子空间概念;

(13) 了解根空间分解定理;

(14) 理解矩阵的Jordan标准形概念,了解这一概念之于线性变换的矩阵的含义;

(15) 理解矩阵的Jordan标准形的存在性和唯一性;

(16) 会用矩阵的特征多项式以及一些矩阵的秩计算矩阵的Jordan标准形;

(17) 会用矩阵的Jordan标准形解决有关矩阵、线性变换的简单问题。

3. lambda-矩阵(约18学时)

(1) 理解lambda-矩阵的概念及它们的运算,理解-矩阵的可逆性;

(2) 理解lambda-矩阵的初等变换及其等价关系;

(3) 理解lambda-矩阵的初等变换与初等矩阵间的关系;

(4) 理解lambda-矩阵的等价标准形的存在性;

(5) 理解lambda-矩阵的行列式因子的概念;

(6) 理解lambda-矩阵的不变因子与行列式因子的关系,理解-矩阵的等价标准形的唯一性;

(7) 理解两矩阵相似的充要条件是它们的特征矩阵是等价的这一命题;

(8) 理解初等因子及初等因子组概念,理解lambda-矩阵用秩和初等因子组确定不变因子的方法;

(9) 熟练掌握对角阵、分块对角阵的初等因子组的计算;

(10) 理解lambda-矩阵的行列式因子、不变因子及初等因子组间的关系;

(11) 理解矩阵的Jordan标准形与其特征矩阵的初等因子组间的关系;

(12) 理解矩阵的Jordan标准形与其最小多项式间的关系;

(13) 熟练掌握矩阵的Jordan标准形的计算方法,会求一些不很复杂的矩阵的相应的相似变换矩阵;

(14) *了解矩阵实域上的标准型的概念及计算办法;

(15) 了解矩阵的有理标准型的概念及其计算办法。

4. Euclid空间(约24学时)

(1) 理解Euclid空间、内积、度量矩阵概念,理解向量的长度、向量间的夹角的定义;

(2) 理解Euclid空间中的三角不等式及勾股定理;

(3) 理解标准正交基概念,熟练掌握求标准正交基的Schmidt正交化方法;

(4) 理解正交矩阵概念,理解标准正交基间的过渡矩阵为正交矩阵这一命题;

(5) 理解Euclid空间的同构,会建立不同Euclid空间间的同构;

(6) 理解正交变换概念,理解线性变换是正交变换的充要条件;

(7) 理解正交补空间概念,理解一向量在一子空间上的正投影的含义,了解线性方程组的最小二乘解的概念;

(8) 理解对称变换及其基本性质;

(9) 理解实二次型的半正定性;

(10)了解酉空间及酉变换概念及其相关性质;

(11) 了解Hermite矩阵及Hermite二次型的概念及其相关性质;

(12) 了解正规矩阵的概念及其性质。

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预备知识

多项式、矩阵、行列式、几何空间、n维向量、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、相似矩阵、二次型与二次曲面

参考资料

1. 北京大学数学系几何与代数室代数教研组编,王萼芳石生明修订,高等代数(第五版),高等教育出版社,2019

2. 丘维声.高等代数.高等教育出版社,2002

3. 姚慕生.高等代数学.复旦大学出版社,2003

4. 张贤科,许甫华编.高等代数.清华大学出版社,1998

5. Hoffman, R Kunze, Linear algebra, 世界图书出版公司,2008

东南大学
4 位授课老师
周建华

周建华

教授

张小向

张小向

教授

王周

王周

副教授

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