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高等数学(一)
第6次开课
开课时间: 2024年09月02日 ~ 2025年01月31日
学时安排: 3-8小时每周
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老师已关闭该学期,无法查看
课程详情
课程评价(1065)
spContent=“高等数学一”是理工科大学生的必修课,包含一元微积分和常微分方程,微积分逻辑严密、系统完整,已成为众多学科的重要基础,在自然科学和社会科学获得了广泛的应用。高等数学不仅是学习后继课程的基础,更是培养逻辑推理理性思维的载体,对学生素质的提高,分析能力的加强,创新意识的启迪至关重要。
“高等数学一”是理工科大学生的必修课,包含一元微积分和常微分方程,微积分逻辑严密、系统完整,已成为众多学科的重要基础,在自然科学和社会科学获得了广泛的应用。高等数学不仅是学习后继课程的基础,更是培养逻辑推理理性思维的载体,对学生素质的提高,分析能力的加强,创新意识的启迪至关重要。
—— 课程团队
课程概述

  通过该课程的学习,不但使学生具备学习后续其他课程和专业课程所需要的基本数学知识,而且还使学生在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶,使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物、认识和利用数形规律的初步能力。因此,高等数学不仅关系到学生在整个大学期间甚至研究生期间的学习质量,而且还关系到学生的思维品质、思辨能力、创造潜能等科学和文化素养。“高等数学慕课”将配合教师课堂教学,为学生提供可靠有效的预习与复习指导,为学生有效利用课余的碎片时间学习数学知识提供有效可行的途径。采用课前通过慕课熟悉基础知识,课上教师利用多种教学手段及教学设计引导学生思考知识本质,有效提升学生分析问题、解决问题的能力。本课程将通过很多生动实际的例题,讲述微积分的基本概念及在各领域中的应用。

授课目标

   高等数学是高等学校理工科专业重要的基础理论课,是全校性的公共基础课,对于以信

息和电子学科为主的各理工科专业,高等数学在大学本科教育阶段显得尤为重要,有着举足

轻重的作用。该课程不但是学习复变函数、概率统计、大学物理等课程的必修课,而且为学

习专业课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。 

    通过该课程的教学,一是为学生的后继课程教学提供必需的基础数学知识;二是传授数

学思想,培养学生的创新意识,逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学知识解

决复杂问题的能力。 

课程大纲
映射与函数
课时目标:理解函数概念,掌握函数的表示方法。理解复合函数的概念,了解反函数与隐函数的概念。了解函数的性质:有界性、单调性、奇偶性和周期性。掌握基本初等函数的性质及图形。理解初等函数的概念,了解双曲函数与反双曲函数的概念。会建立简单应用问题中的函数关系式。
1.1 数列的极限
1.2 函数的极限
1.3 无穷小与无穷大
1.4 极限运算法则
1.5 极限存在准则 两个重要极限
1.6 无穷小的比较
1.7 函数的连续性与间断点
1.8 连续函数的运算与初等函数的连续性
1.9 闭区间上连续函数的性质
导数与微分
课时目标:理解导数的概念及几何意义,函数的可导性与连续性之间的关系。会求平面曲线的切线和法线方程,了解导数作为函数变化率的实际意义,会用导数表达一些物理量。掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数的求导公式(会用导数定义讨论分段函数在分段点的可导性)。了解高阶导数的概念,掌握初等函数一阶、二阶导数的求法,会求一些简单函数的高阶导数。会求反函数的导数,隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数。会解一些简单实际问题中的相关变化率问题。理解微分的概念,了解微分的几何意义,掌握微分的四则运算法则和微分形式的不变性。了解微分在近似计算及误差估计中的应用。
2.1 导数的概念
2.2 函数的求导法则
2.3 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率
2.4 高阶导数
2.5 函数的微分
微分中值定理与导数的应用
课时目标:中值定理与导数应用:理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)中值定理,了解如何构造辅助函数并利用定理证明相关问题。了解柯西(Cauchy)中值定理。了解泰勒(Taylor)定理以及用多项式逼近函数的思想。掌握洛必达法则求不定式极限的方法。理解函数的极值的概念,掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求函数的最大值和最小值及其较简单的最大值、最小值的应用问题。会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会求水平、铅直和斜渐近线,会描绘一些简单函数的图形。了解弧微分、曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。
3.1 微分中值定理
3.2 洛必达法则
3.3 泰勒公式
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
3.5 函数的极值与最大值最小值
3.7 曲率
不定积分
课时目标:理解原函数与不定积分的概念,了解不定积分的性质。掌握不定积分的基本公式。掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
4.1 不定积分的概念与性质
4.2 第一类换元法
4.3 第二类换元法
4.4 分部积分法
4.5 有理函数的积分
定积分
课时目标:理解定积分的概念和几何意义。理解定积分的性质和定积分中值定理。理解积分上限的函数性质及其求导。掌握牛顿(Newton)—莱布尼兹(Leibniz)公式。掌握定积分的换元积分法和分部积分法。
5.1 定积分的概念与性质
5.2 微积分基本公式
5.3 定积分的换元法和分部积分法
5.4 反常积分
定积分的应用
课时目标:掌握建立定积分表达式的元素法(微元法),会用定积分表达和计算一些几何量和物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力和函数平均值)。了解广义积分及其收敛性的概念。
6.1 定积分的元素法
6.2 定积分在几何学上的应用
6.3 定积分在物理学上的应用
微分方程及其应用
课时目标:了解微分方程以及微分方程的解、通解、初始条件和特解的概念一阶微分方程:掌握变量可分离的方程和一阶线性微分方程的解法。会解齐次方程、伯努利方程。会用简单的变量代换求解某些微分方程。二阶微分方程:会用降阶法求解三类方程 ,理解线性微分方程解的性质和解的结构定理。掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法,了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。会求自由项为 的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解,其中 为实系数 次多项式, 为实数。 会根据实际问题推导微分方程。
7.1微分方程的基本概念
7.2可分离变量的微分方程
7.3一阶线性微分方程
7.4可降阶的高阶微分方程
7.5高阶线性方程
7.6常系数齐次线性微分方程
7.7常系数非齐次线性微分方程
展开全部
预备知识

函数的定义及性质,包括单调性,有界性,奇偶性,周期性,反函数与复合函数;

基本初等函数包括幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数的定义域,值域及性质;

映射,集合的基本概念及性质;

证书要求

为积极响应国家低碳环保政策, 2021年秋季学期开始,中国大学MOOC平台将取消纸质版的认证证书,仅提供电子版的认证证书服务,证书申请方式和流程不变。

 

电子版认证证书支持查询验证,可通过扫描证书上的二维码进行有效性查询,或者访问 https://www.icourse163.org/verify,通过证书编号进行查询。学生可在“个人中心-证书-查看证书”页面自行下载、打印电子版认证证书。

 

完成课程教学内容学习和考核,成绩达到课程考核标准的学生(每门课程的考核标准不同,详见课程内的评分标准),具备申请认证证书资格,可在证书申请开放期间(以申请页面显示的时间为准),完成在线付费申请。

 

认证证书申请注意事项:

1. 根据国家相关法律法规要求,认证证书申请时要求进行实名认证,请保证所提交的实名认证信息真实完整有效。

2. 完成实名认证并支付后,系统将自动生成并发送电子版认证证书。电子版认证证书生成后不支持退费。


参考资料

[1]同济大学数学系,高等数学,第7版,高等教育出版社,2014

[2]杨有龙等编,高等数学同步辅导,西安电子科技大学出版社,2016.

[3]李忠、周建莹,高等数学(2),北京大学出版社,2009.

[4]清华大学编,高等数学,高等教育出版社,1985.

[5]四川大学数学系高等数学教研组编,高等数学,高等教育出版社,1997

[6]马知恩,王绵森,高等数学疑难问题选讲,高等教育出版社,2014

[7]高等学校工科数学教学指导委员会本科组编,高等数释疑解难,高等教育出版社,1992

[8]William Briggs等,微积分上册,国外经典数学教材译丛,中国人民大学出版社,2010.

[9]Mark M.Meerschaert,数学建模方法与分析,华章数学译丛,机械工业出版社,2018.

[10]Dale Varberg等,微积分翻译版,机械工业出版社,2015.

[11]James Stewart,微积分第7版,影印版,高等教育出版社;2014.

[12]庞特里亚金,常微分方程,俄罗斯数学教材选译,高等教育出版社,2006.

[13]伽莫夫,从一到无穷大,科学出版社,2002.

[14]艾萨克.牛顿,自然哲学的数学原理,重庆出版社,2015.

[15]Adrian Banner,普林斯顿微积分读本,人民邮电出版社,2019.

常见问题

一、  在阅读不同时代、不同版本的“高等数学”书籍时,会发现部分数据公式有出入,这是正常现 象。因为数学上的公式有些是公认的,有些是著者的记号。

二、微积分学中的定理是公认的但很多性质是讲述者证明的

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