spContent=本课程根据目前高校课程改革的要求，为适应少课时的数学物理方法学习和教学要求，在对课程所涉内容结构进行重新整合的基础上进行编写的。
本课程主要内容包括：复变函数微积分学、幂级数基础及在微分方程中的应用和留数定理、数学物理方程基础简介、积分变换法、以及数学物理方程的五类求解方法简介。
本课程根据目前高校课程改革的要求，为适应少课时的数学物理方法学习和教学要求，在对课程所涉内容结构进行重新整合的基础上进行编写的。
本课程主要内容包括：复变函数微积分学、幂级数基础及在微分方程中的应用和留数定理、数学物理方程基础简介、积分变换法、以及数学物理方程的五类求解方法简介。
—— 课程团队
课程概述
“数学物理方法（一）——复变函数微积分学”是重庆师范大学的“数学物理方法”的第一部分，介绍数学物理方法复变函数部分的基本概念。本课程中将介绍复数以及复数的运算，复变积分的概念及基本性质，柯西定理，柯西积分公式，高阶导数公式以及柯西型积分的解析性，及在计算积分等中的应用。学习本课程之前，要求同学们已经完成高等数学的学习，熟练掌握实数的运算，熟悉微积分的计算。
授课目标
本课程的核心问题是让学生初步掌握用数学语言研究科学技术中的物理问题的能力。
1培养学生从处理简单的理想的物理问题逐步过渡到处理实际的复杂的物理问题的能力和方法；
2本课程是在学生已经学习了大学物理相关课程和高等数学、线性代数等数学课程的基础上，紧密结合物理基本理论，较为系统地学习复变函数论、数学物理方程的基本内容，掌握其基本知识，基本概念，基本公式，为学生学习后继专业课程以及物理数学综合素质的提高打下坚实的基础；
3用数学建模思想，使学生能从复杂物理现象中抽象出本质，建立物理模型构建各物理量之间联系的偏微分方程方面得到初步训练；
4针对不同特点的方程，包括常微分方程和偏微分方程，找到适合求解该类方程的求解方法，并能够应用这些方法实际求解这些方程。
成绩 要求
1.课程考核包括单元测验（60%）、考试（40%）;
2..考核总分在60以上85分以下可以获得合格证书，在85分以上可以获得优秀证书。
课程大纲
绪论
课时目标：对数学物理方法这门课程有一个初步地整体地把握与了解。讲授内容包括数学物理方法的定义；数学物理方法的内容；数学物理方法的地位与作用；如何学好数学物理方法。
第一章 复变函数微积分学
课时目标：培养学生复数表示及运算，解析函数的概念及判断，共轭调和函数、解析函数的求解的能力，应用柯西定理，柯西公式计算解析函数的积分的能力。掌握复数的三种表现形式及运算；复变函数可导的充分必要条件；解析函数、共轭调和函数的定义、特性与求解。掌握计算复平面上线积分的方法；柯西定理，柯西积分公式和柯西导数公式。熟练应用柯西积分公式和柯西导数公式为本章的难点。
（一）、复数及其运算
复数的基本概念；无限远点；复数的三种表现形式及运算。
（二）、复变函数的基本概念
复变函数的定义；区域的概念；复变函数例。
（三）、复变函数的导数
复变函数的导数；柯西-黎曼方程；可导的充要条件。
（四）、解析函数
解析函数及等价定义；共轭调和函数；解析函数实部与虚部曲线簇的关系；由实部或虚部求解解析函数。
（五）复变函数的积分
复变函数积分的定义；例题。单连通区柯西定理；复连通区柯西定理。解析函数的不定积分与原函数；例题。柯西积分公式；柯西求导公式。
第二章 幂级数及其应用
课时目标：培养学生将解析函数展成泰勒级数，洛朗级数的能力；培养学生利用留数理论计算实函数积分的能力；并且会用级数法求解常微分方程。掌握幂级数敛散性判别法；收敛半径与收敛圆的计算；将解析函数展成泰勒级数，洛朗级数；孤立奇点类型的判别。将解析函数展成泰勒级数，洛朗级数为本章的重点与难点。本章另一重点是用级数法求解常点和正则奇点邻域内的常微分方程。
（一）、复变函数项级数
柯西收敛判据；绝对收敛；一致收敛；绝对一致收敛。
（二）、幂级数的基本概念
达朗贝尔判别法；收敛圆；收敛半径；例题。
（三）、泰勒级数及常点邻域内微分方程的级数解法
泰勒定理；例题。常点邻域上的级数解法；勒让德方程。
（四）、洛朗级数展开定理
洛朗定理；例题。
（五）、洛朗级数展开应用之一——孤立奇点的分类
孤立奇点；可去奇点；极点；本性奇点。
（六）、洛朗级数展开应用之二——留数定理及应用
有限远点留数的定义；无穷远点留数的定义；留数的计算；留数定理；全平面留数定理。第一类实函数定积分；第二类实函数定积分；第三类实函数定积分。
（七）、洛朗级数展开应用之三——正则奇点邻域内微分方程的级数解法
正则奇点邻域内微分方程的级数解法
第三章数学物理方程及定解问题简介
课时目标：培养学生采用局部法或演化法推导数学物理方程以及列出适定的定解问题的能力。掌握波动方程（横波与纵波）, 输运方程, 拉普拉斯方程及泊松方程的导出；定解条件的分类；第一类、第二类、第三类边界条件及其物理意义；采用局部法或演化法推导数学物理方程以及列出适定的定解问题为本章的重点与难点。
（一）、数学物理方程的导出
均匀弦的微小横振动；均匀杆的纵振动；电磁波方程；扩散方程；热传导方程；静电场方程。
（二）、数学物理方程的定解条件及定解问题的适定性
初始条件；第一类、第二类、第三类边界条件及其物理意义。定解问题是一个整体；定解问题的适定性。
第四章积分变换及其应用
课时目标：培养学生对物理图形进行频谱分析的能力；对数学函数进行傅里叶级数展开和傅里叶变换的能力。培养学生利用拉普拉斯变换求解初始值问题，即微分方程和积分方程的能力。掌握傅里叶级数及其对函数进行傅里叶级数展开；实数型与复数型傅里叶积分、傅里叶变换；傅里叶变换的基本性质及其应用。对物理问题选择适定的傅里叶级数展开和进行实数型与复数型傅里叶积分、傅里叶变换为本章的重点与难点。掌握拉普拉斯变换的定义；拉普拉斯变换的基本性质；拉普拉斯变换的反演；求解微分方程和积分方程的方法及其应用。利用拉普拉斯变换求解微分方程和积分方程的方法及其应用为本章的重点与难点。
（一）、傅里叶级数简介
狄里希利定理;周期函数的傅里叶展开;奇函数及偶函数的傅里叶展开;定义在有限区域上的函数的傅里叶展开;复数形式的傅里叶级数。
（二）、傅里叶变换及其性质简介
实数形式的傅里叶变换; 复数形式的傅里叶变换; 实傅里叶变换的基本性质；多重傅里叶变换。
（三）、拉普拉斯变换及其性质简介
拉普拉斯变换的定义；拉普拉斯变换的基本性质。
（四）、拉普拉斯变换的反演和拉普拉斯变换在常微分方程的求解中的应用
拉普拉斯变换的反演和拉普拉斯变换在微积分方程的求解中的应用。
第五章数学物理方程的求解方法简介
课时目标：培养学生利用达朗贝尔公式法求解偏微分方程的初步能力；采用直角坐标系、极坐标和球坐标系中分离变数法求解数学物理方程的初步能力；利用积分变换法、格林函数法求解偏微分方程的基本能力。掌握达朗贝尔公式法求解偏微分方程，采用直角坐标系、极坐标和球坐标系中分离变数法求解拉普拉斯方程、波动方程，理解分离变数法的基本步骤及常见的本征值问题；复习掌握求解勒让德方程、贝塞尔方程的级数解法。理解并掌握有点源在一定定解条件存在时的偏微分方程求解的格林函数法。掌握用镜像法求解格林函数的基本方法。掌握用积分变换法（包括傅里叶变换和拉普拉斯变换）求解偏微分方程的基本思想。分离变数法是求解数学物理方程最基本最常用的方法，也是本章的重点，偏微分方程求解的格林函数法和镜像法求解格林函数也是本章的重点和难点。
（一）、达朗贝尔公式法
达朗贝尔公式法简介。
（二）、分离变数法
直角坐标系中的分离变数法；分离变数法的一般步骤；采用球坐标系和柱坐标系中分离变数法将数学物理方程化为常微分方程的初步能力并求解这些方程。
（三）、积分变换法
傅里叶变换法求解偏微分方程和拉普拉斯变换法求解偏微分方程。
（四）、格林函数法
δ函数；δ函数的一些性质；δ函数是一种广义函数；例题。格林函数法求解偏微分方程简介，利用镜像法求解格林函数。
（五）、变分法
泛函的基本概念、泛函的变分、变分的性质、欧拉方程、以及物理学中的变分原理及应用
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预备知识
参考资料
《数学物理方法》，罗光，科学出版社，2018
《数学物理方法（第二版）》，吴崇试编著，北京大学出版社，2003
《数学物理方法习题指导》，周治宁，吴崇试，钟毓澍编著，北京大学出版社，2004
《数学物理方法习题集》，武仁，北京大学出版社，1995
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