无论是学习数学分析还是高等数学，很多同学都对积分部分复杂的构造和计算，以及各种计算和各种变换的技巧，觉得眼花缭乱难以掌握，甚至对这些积分本身的定义和意义也是搞不清楚。因此当面对期末考试或者考研的时候，觉得最难的部分就是积分部分。尤其是曲线积分曲面积分，更是害怕的要命。

这门课就是要把这些问题讲清楚。

通过这门课的学习，让同学们不但掌握各种积分的定义和计算，而且从本质上理解这些积分的意义和高级运算技巧，并且掌握这些积分之间的内在联系。

本门课试图从以下角度理解数学上的积分：

数学上的积分，也是一个求总量的问题，它解决的是空间中线、面、体上某种量不均匀的分布求总和问题。比如空间密度不均匀的曲面，求总质量的问题。质点沿着曲线在变化的力作用下运动作功问题。这些问题在特殊情况下，也就是分布是均匀的情况下，就是个初等数学的乘法。比如曲面的质量等于面积乘以密度；功等于距离乘以力。积分法是解决上述问题在允许密度和力不断变化的情况下的“总量”问题。

无论是线，面，还是体上，所有上述问题都是通过分割、均匀、求和、取极限这四个步骤给出解决思路的。不同问题通过上述相同的思想方法就得到了各种各样的积分。所以积分的“积”字，本身就包含“乘积”的意思，也含有“积累”的意思。

  这些积分的计算最终归结为微积分基本公式或者牛顿莱布尼兹公式。 但积分的计算技巧不仅仅这些，变换的思想是各种积分计算的精髓：

1 在弯曲的几何对象上如曲线，曲面上的积分可以归结到不弯曲的如区间，平面区域上的计算。

2 在复杂区域上的积分通过变换，变成形状简单区域上的积分。

3 一个几何对象上的积分和它边上积分之间的关系，其中最典型的是牛顿——莱布尼兹公式。

通过这门课的学习，让同学们不但掌握各种积分的定义和计算，而且从本质上理解这些积分的意义和高级运算技巧，并且掌握这些积分之间的内在联系。

为积极响应国家低碳环保政策， 2021年秋季学期开始，中国大学MOOC平台将取消纸质版的认证证书，仅提供电子版的认证证书服务，证书申请方式和流程不变。

电子版认证证书支持查询验证，可通过扫描证书上的二维码进行有效性查询，或者访问 https://www.icourse163.org/verify，通过证书编号进行查询。学生可在“个人中心-证书-查看证书”页面自行下载、打印电子版认证证书。

完成课程教学内容学习和考核，成绩达到课程考核标准的学生（每门课程的考核标准不同，详见课程内的评分标准），具备申请认证证书资格，可在证书申请开放期间（以申请页面显示的时间为准），完成在线付费申请。

认证证书申请注意事项：

1. 根据国家相关法律法规要求，认证证书申请时要求进行实名认证，请保证所提交的实名认证信息真实完整有效。

2. 完成实名认证并支付后，系统将自动生成并发送电子版认证证书。电子版认证证书生成后不支持退费。

一元函数微分学基本知识：极限，连续，求导数，中值定理。

空间解析几何和向量的基本知识：向量及其运算，点乘叉乘。

多元函数微分学基本知识：偏导数，全微分，空间曲面切平面和法向量。

《数学分析》（1、2、3）郭林等编写.

《高等数学》（第七版）同济大学数学教研室编写。

  微信公众号：郭叔的高数课

《托马斯微积分》是不错的参考资料，强烈安利各位同学尤其是考数学一的同学参考，对于基本知识欠缺的同学，通过看这本书可以得到一切你想要的。

Q :  学习过程中遇见学不会理解不了的知识怎么办？

A :  看视频，仅仅解决了对基本知识理解的问题，还远远达不到会做题的问题，需要读参考资料，并多做题。学习任何一门知识，不做一定量的习题，是不容易学深学透的。

Q :  我大一学习的是《微积分》知识，有些知识我没有学过，怎么办？

A :  这种情况，需要自己找一找相关的资料看一看，除了前面我们说的参考资料以外，还可以通过各种网络视频理解。另外两次集中见面课，可以早准备好问题，然后见面课上师生之间交流。

Q :  有问题如何联系老师？

A :  企业微信上，可以找到“数学院”，“老师”中可以找到本课程的老师，通过企业微信交流问题。有了企业微信后，可以在企业微信里直接联系老师，不需要再添加老师为微信好友了。

Q :  听课过程中，做多少题效果最好？

A :  越多越好，可以把相关教科书（比如同济《高等数学》）后面的题尽量多做。