微积分(一)
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spContent=“矿爷的课,一定要上”,矿爷时常会利用一些段子,把教学和生活联系起来,让枯燥的微积分课堂变得妙趣横生;听矿爷的数学课是一种思维上的享受!人称“矿爷”的苏德矿,乃浙江大学的“百万”名师。
—— 课程团队
课程概述

    微积分是以函数为研究对象,运用极限手段分析处理问题的一门数学科学。

    本课程充分发挥传统黑板教学在数学课程讲授上的优势,边讲边写,循序推进,现场手绘图形,通俗易懂,还时常利用一些段子把教学和生活联系起来,使得课堂生动活泼,为微积分课程教学带来一股新风。

    本课程是在原国家级精品课程的基础上转型而成,分为微积分(一)、(二)、(三),其中微积分(一)包括函数极限与连续、一元函数的微分学、一元函数的积分学、无穷级数。通过本课程的学习,使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论、基本方法和具有比较熟练的运算技能,为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础;并使学生受到高等数学的思想方法熏陶和运用它们解决实际问题的基本训练;培养学生具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力以及综合运用所学知识进行分析、解决实际问题的能力。

    本课程适合大学一年级正在学习微积分或者正在准备复习考研的学习者。

微积分(二)课程连接:https://www.icourse163.org/course/ZJU-1003308005

微积分(三)课程连接:https://www.icourse163.org/course/ZJU-1003376003

授课目标

第一部分  函数、极限、连续

1.理解函数的概念,掌握函数的表示法,并会函数关系的建立。 
2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.  
3.理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念.  
4.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念.
5.理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及函数极限存在与左、右极限之间的关系. 
6.掌握极限的性质及四则运算法则 
7.掌握极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限的方法. 
8.理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限. 
9.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型. 
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小 值定理、介值定理),并会应用这些性质.  
第二部分  一元函数微分学
1.理解导数和微分的概念,理解导数与微分的关系,理解导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。

3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的n阶导数。

4.会求分段函数的一阶、二阶导数。

5.会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

6.理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理,了解并会用柯西中值定理。

7.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法,掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形。

9.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

10.了解曲率和曲率半径的概念,会计算曲率和曲率半径。

第三部分  一元函数积分学
1.理解原函数概念,理解不定积分和定积分的概念.  
2.掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理,掌握换元积分法与分部积分法.  
3.会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分.  
4.理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿一莱布尼茨公式.  
5.了解广义积分的概念,会计算广义积分.  
6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力)及函数的平均值等.  
第四部分  无穷级数

1.理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念,掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2.掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。

3.掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法,会用根值判别法。

4.掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7.理解幂级数的收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质(和函数的连续性、逐项微分和逐项积分),会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和。

9.了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10.掌握ex、sinx、cosx、ln(1+x)和(1+x)α的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

课程大纲

课程视频大纲

第一周

 第一节: 有界函数、无界函数、复合函数

 第二节:反函数、单调函数

 第三节:基本初等函数、初等函数和非初等函数

 第四节:数列极限定义

 第五节:收敛数列的性质

 第六节:夹逼定理、单调有界定理

 第七节: {(1+1/n)n}的收敛性

 第八节:单调有界定理及应用、子数列

 第九节:子数列推论、函数极限定义

 第十节:函数极限性质

第二周

 第十一节:海涅定理

 第十二节:海涅定理推论的应用、无穷小量性质与推论

 第十三节:无穷小量阶的比较 无穷大量

 第十四节:无穷大量性质、等价量替换定理

 第十五节:函数极限的夹逼定理、两个重要极限

 第十六节:两个重要极限(续)

 第十七节:函数的连续,间断点分类

 第十八节: 初等函数的连续性

 第十九节: 闭区间上连续函数的性质

 第二十节: 11个重要的函数极限

 第二十一节: 总结与练习

 第二十二节: 证明题训练,间断点及类型的讨论

测试2018116日~201914日)

第三周

 第二十三节: 导数概念引入,导数定义

 第二十四节: 左右导数定义,导数与连续的关系

 第二十五节: 基本初等函数的导函数

 第二十六节: 导数四则运算,反函数求导法则,基本初等函数导数()

 第二十七节: 复合函数求导法则

 第二十八节: 初等函数导数,分段函数导数

 第二十九节:高阶导数

 第三十节:方程确定函数的导数,对数微分法

 第三十一节:对数微分法练习,微分

 第三十二节全微分的一阶形式不变性,近似计算

 第三十三节:参数方程确定函数旳导数,极值的概念

测试20181113日~201914日)

第四周

 第三十四节:费马定理,罗尔定理

 第三十五节:拉格朗日定理,柯西定理

 第三十六节:未定式极限

 第三十七节:未定式极限(续)

 第三十八节:数列极限未定式,罗尔定理应用

 第三十九节:拉格朗日定理应用,单调性定理

 第四十节:判断极值的方法,求单调区间与极值的步骤

 第四十一节:数学建模初步,泰勒公式思想

第五周

 第四十二节:泰勒公式

 第四十三节:五个函数的麦克劳林展开式

 第四十四节:泰勒公式的应用

 第四十五节:带有皮亚诺余项的泰勒公式,在求极限中的应用

 第四十六节:利用皮亚诺余项找等价量,函数的凹凸性与拐点

 第四十七节:曲线的渐近线

 第四十八节:函数的作图

 第四十九节:曲率

测试20181127日~201914日)

第六周

 第五十节:不定积分概念,不定积分性质

 第五十一节:不定积分线性运算法则,基本不定积分公式

 第五十二节:不定积分的凑微分

 第五十三节:不定积分的变量代换

 第五十四节:不定积分的分部积分

 第五十五节:不定积分的分部积分(续),有理函数的不定积分

 第五十六节:有理函数的不定积分(续),三角函数有理式的不定积分

 第五十七节:三角函数有理式的不定积分(续),无理函数的不定积分

测试2018124日~201914日)

第七周

 第五十八节:定积分的概念的引入,定积分的定义

 第五十九节:定积分的意义,可积的必要条件

 第六十节:可积的充分条件,定积分的性质1-2

 第六十一节:定积分的性质3-7

 第六十二节:变上限求导定理(微积分基本定理),牛顿莱布尼兹公式

 第六十三节:定积分概念的深度理解

 第六十四节:定积分证明题的类型,一般变限积分的求导

 第六十五节:定积分计算的方法

 第六十六节:利用被积函数的特点简化定积分的计算

 第六十七节:利用被积函数的特点简化定积分的计算(续),微元法思想

第八周

 第六十八节:微元法,平面图形面积

 第六十九节:平面图形面积例题,曲边扇形面积,夹在两平行平平面间立体的体积

 第七十节:平面图形绕x轴,y轴旋转所成旋转体的体积

 第七十一节:曲线的弧长

 第七十二节:平面图形绕x轴旋转所成旋转体的侧面积,定积分在物理中的应用

 第七十三节:定积分在物理中的应用(续),第一类广义积分思想

 第七十四节:第一类广义积分,第二类广义积分思想

 第七十五节:第二类广义积分,伽马函数

测试20181218日~201914日)

第九周

 第七十六节:数项级数的概念,两个重要的级数

 第七十七节:收敛级数的性质

 第七十八节:例题,正项数项级数收敛的充要条条件,比较判别法

 第七十九节:例题,比较判别法的极限形式

 第八十节:例题,比值判别法

 第八十一节:根值判别法,例题

 第八十二节:一般级数绝对值的比值判别法,绝对值的根值判别法

 第八十三节:莱布尼兹判别法,例题,柯西-阿达玛公式思想

第十周

 第八十四节:柯西-阿达玛公式,例题

 第八十五节:收敛幂级数的性质,例题

 第八十六节:两个重要幂级数的和函数,求幂级数和函数的四种重要方法

 第八十七节:例题,函数按定义展成幂级数(直接展开)

 第八十八节:唯一性定理,函数展成幂级数的间接展开

 第八十九节:函数展成幂级数例题,综合练习 

第九十节:微积分1精要

测试6 201911日~2019113日)

201915日~2019113日期末考试

预备知识

高中数学以及删去的中学数学内容,参考资料[3]:

高等数学基础——中学数学内容补充与数学概念和思维方法简介,苏德矿,等.高等教育出版社,20155.

证书要求

本课程的成绩由单元测验、讨论题和期末考试三部分组成。其中(1)单元测验有6个,分别在第2,3,5,6,8,10周,每个单元测验包括10个单选题,每次单元测验占7%,共占42%;(2)讨论题占8%,需要至少参与8个题目讨论;(3)期末考试占50%,期末考试25个单选题,要求在4个小时内完成。成绩按百分制计分,60分至84分为合格,85分至100分为优秀。

参考资料

参考教材:

微积分(上),(下).2版.苏德矿,吴明华,金蒙伟,杨起帆.高等教育出版社,2007年7月.

相关资料:

[1] 高等数学习题课28讲.苏德矿,应文隆,卢兴江,吴明华.中南大学出版社,20018年3月.

[2] 高等数学学习辅导讲义.苏德矿,应文隆,等.浙江大学出版社,2015年10月.

[3] 高等数学基础——中学数学内容补充与数学概念和思维方法简介.苏德矿,等.高等教育出版社,20155.

选读材料: 
[1] 高等数学(2,3卷).居余马,葛严麟.清华大学出版社,1996年8月. 
[2] 简明微积分.龚昇,张声雷.中国科技大学出版社,1993年7月. 
[3] 数学分析(上,下).华东师范大学数学系.高等教育出版社,1996年3月. 
[4] 微积分学教程.F.M.菲赫金哥尔茨.高等教育出版社,2005年7月. 
推荐英文书目: 
[1] CALCULUS工科微积分(上,下)(双语版).立冬,周文书.大连理工大学出版社,2009年02月. 
[2] 高等微积分(美).Patrick M. Fitzpatrick(马里兰大学).机械工业出版社,2005年5月. 

常见问题

微积分()开始是觉得难,是因为和中学区别较大,中学的数学是有限性和静态性,而大学数学是无限性与动态性,使得大家很不适应。但是,只要坚持学习,多练不同类型的题目,学会思考,小结,就会柳暗花明又一村,就会顿开茅塞,豁然开朗,前景一片光明。