空间解析几何，是打开三维世界的数学之眼。你是否曾好奇，如何用严谨的数学语言描述我们生活的这个三维空间？一个球面、一条螺旋上升的楼梯、卫星的运行轨道，这些看似复杂的几何形态，背后是否有一套统一的数学法则？《空间解析几何》正是为你解答这些疑问的钥匙。

一、 为什么要学习这门课？（建立学习的必要性与驱动力）

学习《空间解析几何》绝非仅仅为了应付考试拿到学分，它源于三个核心需求：

1. 从“直觉几何”到“精确几何”的升华：中学的几何更多依赖于图形直观和逻辑推理，而本课程将教会你如何通过坐标系和向量代数方程来精确地描述、分析和计算空间中的图形。这是将几何问题“代数化”的关键一步，是现代数学和科学研究的基石。
2. 为后续专业课程奠定不可或缺的基础：这是你迈向许多高阶领域的“必修前哨站”。无论是高等数学（微积分）或数学分析 中的多元函数、梯度、散度、旋度，还是 《物理学》 （力学、电磁学）中的场论，亦或是《高等数学》或《线性代数》 的几何意义深化，《计算机图形学》 的三维建模、《机器人学》 的运动学分析，都深深植根于空间解析几何的概念与方法。
3. 培养强大的空间想象与抽象逻辑思维能力：本课程通过不断的“数形结合”训练，能极大地提升你将抽象代数方程在脑海中转化为具体空间形态的能力（反之亦然），这是一种在工程、科研和计算机领域都极其宝贵的核心素养。

二、 这门课的主题是关于什么？（清晰界定核心内容）

本课程的核心主题，一言以蔽之，就是 “用向量代数工具研究空间几何图形”。我们将围绕两大坐标系和三类核心图形展开：

1.两大武器库：

（1）空间直角坐标系：构建三维空间的“网格”，奠定一切描述的基础。

（2）向量代数：引入既有大小又有方向的量，成为描述力、速度、位移等物理量以及进行空间几何

计算的利器。

2.三类研究对象：

• 空间中的曲面：如何用方程表示平面、球面、柱面、锥面、旋转曲面等。
• 空间中的曲线：如何描述直线、以及两曲面相交形成的复杂曲线（特别是用参数方程表示的空间曲线）。
• 二次曲面：这是课程的高潮部分，我们将系统研究椭球面、单/双叶双曲面、椭圆/双曲抛物面（马鞍面）等标准二次曲面的方程和几何特征。再进一步降维到二次曲线的标准方程和分类。

三、 学习这门课可以获得什么？（凸显个人收益与应用价值）

完成本课程的学习，你将获得三个层面的收获：

1. 知识层面：系统掌握向量、坐标系、空间直线与平面、常见曲面和曲线的方程与性质。
2. 能力层面：

• 计算能力：熟练进行向量的各种运算（点积、叉积、混合积），并用于求解距离、角度、面积、体积等几何量。
• 建模能力：能够将实际的空间几何问题，翻译成相应的数学方程进行求解。
• 空间思维能力：看到方程能想象出其图形，看到图形能抽象出其方程。

3.应用层面：

• 学术上：为后续的数学、物理课程扫清障碍，看透公式背后的几何本质。
• 技术上：为你将来理解3D建模软件原理、机器人运动规划、计算机视觉中的相机标定等提供初步的数学直觉。
• 思维上：获得一种解决复杂空间问题的“上帝视角”，逻辑更严谨，思考更全面。

四、 这门课有什么特色和亮点？（激发学习兴趣）

本课程的独特之处在于：

1. 极强的“可视性”与“直观性”：不同于一些高度抽象的数学课程，解析几何的结论往往可以画出图形来验证。我们将充分利用数学软件（如GeoGebra 3D，Mapple） 进行动态演示，让抽象的方程“活”起来，使学习过程充满探索的乐趣。
2. “数”与“形”的完美共舞：课程始终贯穿“由数想形，由形算数”的辩证思想。你会体验到，一个简洁的代数方程可以对应一个优美的几何图形，这种和谐与统一是数学之美的极致体现。
3. 从特例到一般的逻辑魅力：我们将从简单的平面直线方程出发，一步步推广到复杂的空间曲面和曲线，让你清晰地感受到数学知识体系是如何层层搭建起来的，培养你的逻辑归纳与演绎能力。
4. 贯穿古今的联系：课程内容既包括笛卡尔、费马等先贤创立解析几何的经典思想，也会简要提及这些概念在现代科技（如GPS定位、AI三维感知）中的深远影响，让你感受到经典数学的强大生命力。

总结而言，《空间解析几何》不仅是一门工具课，更是一门思维训练课。它旨在为你装备一套强大的数学语言，让你能够精准地理解和刻画我们所处的三维世界，为你在科学和工程领域的未来探索铺平道路。欢迎你踏上这段奇妙的“数形结合”之旅！

通过本课程的学习可将思维从平面拓展到空间， 使学习者掌握本课程的主要知识（如代数向量），理解基本概念和基本理论（求曲线与曲面方程的方法，曲线与曲面的各种位置关系以及几种典型二次曲面的方程与几何性质），学会分析问题解决问题的基本方法；了解各部分知识的结构及知识的内在联系；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地进行计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题；培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、空间想象能力、创造性思维能力和自学能力，为后续课程如《高等代数》、《数学分析》和《微分几何》等的学习奠定必要的数学基础。丰富学生的知识、拓宽学生的视野，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生运用解析方法解决几何与实际问题的能力。

五、课程考核

（一）考核内容及占比

1、（占比约25%）向量及其有关的概念，向量的运算与向量乘法、数量积、向量积、混合积和双重向量积的概念与性质，向量共线、共面的充要条件，在仿射/直角坐标系下，用坐标进行向量的运算；用向量法求三角形和平行四边形的面积，平行六面体的体积，以及进行有关的几何证明。

 2、（占比约15%）平面曲线、空间曲线和曲面的概念：曲线(或曲面)的参数方程与普通方程的相互转化，给出轨迹求方程。

3、（占比约18%）平面的法向量，离差，直线的方向向量、方向角、方向余弦和方向数，异面直线的距离和公垂线的概念；两平面相交、平行、重合，直线与平面相交、平行以及直线在平面上，直线与直线异面、共面、相交、平行、垂直、重合的条件；求平面（或直线）的各种形式的方程，点与平面的离差，直线的一般方程与对称式方程的相互转化，公垂线方程，平面束中的一个平面。特别是根据平面和空间直线的方程以及点的坐标来判别有关点、平面、直线之间的位置关系和计算它们之间的夹角和距离。

 4、（占比约17%）柱面、柱面的方向、准线和母线，锥面、锥面的顶点、准线和母线，旋转曲面、旋转曲面的旋转轴和母线的概念；椭球面、双曲面和抛物面的概念及其性质，以直线族研究单叶双曲面和双曲抛物面。特别是柱面、锥面和旋转曲面方程的建立，求椭球面、双曲面和抛物面的标准方程；利用通过压缩、对称和平面截痕法来认识空间曲面的形状；求单叶双曲面和双曲抛物面的两组直母线。

5、（占比约15%）二次曲线的渐近方向、中心、奇异点、正常点、渐近线和切线的概念；求二次曲线的渐近线、切线和直径；二次曲线与直线的相关位置；通过二次曲线中系数矩阵的特征方程与特征根求出二次曲线的特征根、主方向与主直径；利用移轴与转轴的坐标变换下二次曲线方程的系数所发生的变化规律来化简二次曲线的方程（三大类9种标准类型）并绘画出曲线的图形；应用3个不变量和1个半不变量来化简二次曲线的方程和判定二次曲线的哪9种类型之一与形状。

6、（占比约10%）求出有关二次曲面的渐近方向、中心、切平面和径面；求出二次曲面的特征根、主方向和主径面的求法；用坐标变换来化简二次曲面的方程（五大类17种标准类型）；用二次曲面方程的4个不变量和2个半不变量来化简二次曲面的方程和判定二次曲面的类型与形状。

（二）成绩评定

1. 考核方式：本课程为考试课程，考核方式分为过程考核（平时考核、期中考核）和期末考核，将终结性评价与形成性评价相结合。过程考核包括出勤、预习自学、课堂参与度、作业评定、阅读听课笔记、期中考试；期末考核采用期末考试的形式。预习自学阅读笔记

2. 总成绩评定：平时成绩占总成绩的35%，期中成绩占15%，期末考试成绩占总成绩的50%。即  

总评成绩=平时成绩×35%+期中成绩×15%期末考试成绩×50%,

其中，按照教务系统规定平时成绩至少含有5项指标，

平时成绩=出勤×30%+预习自学×10%+课堂提问×10%+课后作业*20%

+阅读听课笔记×10%+期中成绩×20%，

（1）出勤到课率（100分）：按学校相关规定执行。

 (2) 预习自学（100分）：课前老师布置的预习教材和PPT、观看视频和导学测试等；

（3）课堂参与度（100分）：根据每节课的教学内容随机或预先设定问题提问或活跃讨论，根据学生回答情况给予得分，每位同学的课堂提问得分不少于4次，各次得分的平均值即为最后得分。

（4）课后作业（100分）：教师课上布置教材习题的课后作业，按进度批改作业并按完成数量与质量以及讲评后的纠错情况等。

 （5）阅读听课笔记（100分）：读书笔记反映学生自学预习和研读文献的能力，涉及一些课堂讲课的核心知识点记忆、章节讨论总结、习题讲练的互动和布置的读书专题报告等；

（6） 期中考试成绩（100分）：考查向量基本概念和方法、空间直线、平面的方程和性质等的理解与掌握情况，以及运用相关理论知识分析实际应用中的常见问题等的能力；

4. 期末考试成绩（100分）：主要考查解析几何基本思想和方法的整体掌握程度，以及利用所学知识分析问题、解决问题的能力，考试题类型含有判断题、选择题、填空题、计算题和证明题，考试时间120分钟。

《高中数学平面解析几何》、《立体几何》、《线性代数》

七、教材和参考数目

（一）选用教材

1. 生云鹤，李方，侯秉喆. 空间解析几何. 北京：科学出版社, 2022.

或

2. 吕林根,许子道.空间解析几何（第五版）.北京：高等教育出版社，2019.

（二）参考书目

[1] 黄宣国. 空间解析几何.上海：复旦大学出版社，2005.

[2] 丘维声.解析几何（第三版）.北京：北京大学出版社, 2015.

[3] 王向东. 解析几何常用方法. 重庆：重庆大学出版社，1994.

[4] 吴光磊，田畴. 解析几何简明教程. 北京：高等教育出版社，2003.

[5] 吕林根.解析几何(第五版)学习辅导书. 北京：高等教育出版社, 2020. 1

[6] 蒋大为, 宋为杰. 解析几何.导教.导学.导考. 西北工业大学出版社，2007.

[7] 刘德金、张全信. 解析几何规范化测试. 电子科学大学出版社，1996.

[8] Campbell, Alan D.  Advanced Analytic Geometry.  Literary Licensing, LLC, 2013.

[9] Bailey, Frederick H. Plane and Solid Analytic Geometry. LULU PR, 2015.

[10] https://www.icourse163.org/course/BJFU-1003759008 大学慕课.

[11] https://www.1ketang.com/course/1686.html 由壹课堂网 整理免费共享空间解析几何优酷视频,主讲：王幼宁 院校：北京师范大学.

大一学习《空间解析几何》时，同学们普遍会遇到一些“拦路虎”。这门课是连接中学几何和大学高等数学、线性代数的重要桥梁，抽象性和逻辑性都很强。常见问题有：

（1）向量代数概念抽象，运算复杂。出现的问题：向量的点积（数量积） 和叉积（向量积） 是全新的概念，其几何意义（点积求投影/夹角，叉积求法向量/面积）和运算规则（尤其是叉积的行列式计算法）不易理解。表现在：容易混淆点积和叉积的公式、运算规则和几何意义。经常记错叉积的右手法则。

（2）从“二维”到“三维”的思维跃迁困难。出现的问题是：高中习惯了平面几何（xOy坐标系），现在突然要处理立体几何的z轴，想象点、线、面在空间中的位置关系变得非常困难。比如，看到一个三元一次方程，很难立刻在脑海中构建出它代表的平面图像。表现在：画不出立体图，看不懂题目描述的空间关系。

（3）空间直线与平面的方程形式多样，容易混淆。出现的问题：空间直线有一般式、点向式（对称式）、参数式；平面有一般式、点法式、三点式、截距式。各种形式之间的转换，以及如何根据已知条件选择最合适的形式，是很大的挑战。表现在：做题时不知道该用哪种方程形式入手，形式转换时容易计算错误。

（4）计算量大，对代数运算能力要求高。 出现的问题：求距离、夹角、交点、交线等过程中，涉及大量的线性方程组求解、向量运算和公式代入，计算过程繁琐，一步错步步错。表现在：思路正确，但最终因为计算错误（如正负号、行列式计算、分数运算）而丢分。

（5）二次曲面识别与想象困难。出现的问题：椭球面、单/双叶双曲面、椭圆/双曲抛物面（马鞍面）等，它们的方程相似度高（都是二次型），仅凭方程难以想象其空间图形。“平截线法”（用平行于坐标面的平面去截曲面，通过分析截口形状来想象曲面）掌握不熟练。表现在：给出一个二次曲面方程，无法判断它是什么形状；或者看到曲面名称，写不出标准方程。

（6）与高中知识的“负迁移”干扰。出现的问题：习惯性地套用平面几何的结论，但在空间几何中，这些结论可能不成立。例如，在空间中，两条不相交的直线不一定是平行线，还可能是异面直线。表现在：解题时想当然地使用平面几何定理，导致错误。