SPOC学校专有课程
数学解题研究
第1次开课
开课时间: 2019年10月09日 ~ 2019年12月22日
学时安排: 2-3小时每周
当前开课已结束 已有 189 人参加
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spContent=本课程以课程负责人段志贵编著的“十三五”江苏省高等学校重点教材《数学解题研究》为讲授主线,以初等数学问题解决为研究对象,注重数学方法对数学解题的理论指导;以解决问题的策略取向为线索,着力揭示数学解题过程中的内在规律,层层深入,旨在打开一扇通往成功解题的大门。
本课程以课程负责人段志贵编著的“十三五”江苏省高等学校重点教材《数学解题研究》为讲授主线,以初等数学问题解决为研究对象,注重数学方法对数学解题的理论指导;以解决问题的策略取向为线索,着力揭示数学解题过程中的内在规律,层层深入,旨在打开一扇通往成功解题的大门。
—— 课程团队
课程概述

《数学解题研究》课程,站在数学方法论的视角释义数学解题研究需要清楚回答的内涵、外延以及研究方法等基本的问题。具体地说,主要包括以下三个方面内容:


○ 思路透析:从数学方法论的视角认识解题。本课程所指向的解题研究就是通过典型数学问题的分析讲解,引领解题者学会像数学家那样“数学地思维”,探案解题思路,发展解题思维,提高解题能力。

◎ 揭示规律:确立数学解题研究的目标指向。本课程的重心不在于解题理论的构建,而是力求从数学方法论的视角把握数学解题规律,多维度引领解题方向,促进解题者的思维发展及分析、解决问题能力的提高。

● 择法引领:科学地设计数学解题研究思路。本课程以数学方法论作为立意基础,注重数学方法对数学解题的理论指导;以具体问题的解决为抓手,突出解题过程的引领。

基于数学方法论的视角,拟定数学解题的基本策略路线图如下图所示:


面对一个问题,首先是观察,然后考虑化归,把待求解问题转化为已解决的或较容易解决的问题;感觉不明的问题可以考虑运用类比法探寻熟悉的解题模式或方法以化解问题难度;解题中的直觉因素是必须关注的,它可能会在难题求解过程中发挥重要作用;构造是实现数学问题解决的一个捷径,虽然不是每一个问题解决都需要构造;建模是对构造法解题的升级,建模法解题涵盖的内容更为丰富,解决问题的面更为宽广;审美法对于解题来说,是蹊径另辟,是寻找解题方法的一个重要补充;对于费时费力的疑难问题,要想办法进行多途径变通;最后是解题反思,提出分析错误、总结方法、拓展延伸等,对于解题来说并非无足轻重,它能帮助我们有效地掌握数学本质,发展思维,提高能力。

上述解题策略与方法彼此间不是孤立的。观察伴随在解题的始终,化归也一直主导着解题全过程。类比为着促成化归,常常源于观察而发生,源于直觉而显现。构造是一种高级思维模式,需要综合运用类比或化归。建模类似于构造,同样依赖于对问题的观察与审美,依赖于化归思想,依赖于类比、直觉等方法。审美的产生,看似直觉,实质上与细致入微的观察有着紧密的关联,审美意识经常促成类比、构造、建模等解题方法的形成,也为解题化归的实现奠定基础。变通的前提是对问题有比较深刻的观察与理解,它是融直觉、审美、类比等思想方法于一体的结果,反过来又指向于合适的类比、创造性的构造与建模以及巧妙的化归。而问题的解决不是最终的,对解题策略以及解题过程的深入反思,能够指导我们进一步学会观察,更深刻地理解和掌握化归、类比、构造、变通等解题策略与方法,更有效地发展数学思维,提高解题能力。

授课目标

1.通过学习,认识方法和策略在数学解题中的指导价值,提高运用数学方法及一般解题策略解题的意识;

2.通过学习,理解数学问题解决中的观察、化归、类比、直觉、构造、建模、审美、变通及反思等常见常用的方法和策略,学会并灵活运用这些数学方法和解题策略去分析问题、解决问题;

3.通过学习并经过较系统地训练,发展解题思维,积累解题经验,提高数学解题能力。



成绩 要求

 本课程考核方式:课外作业考核、参与论坛讨论及期末考试相结合。其中,课外作业占30%,论坛讨论占10%,期末考试占60%,按百分制计分,60分至84分为合格,85分至100分为优秀。完成本课程线上全部学习任务,可获得2个学分。

课程大纲
引言:数学解题研究概述
课时目标:引领学生从学会思考、揭示规律、择法引领三个维度理解本课程的结构框架,掌握本课程的研究体系(难点),及其基于数学方法论的视角数学解题研究的基本策略路线图。
数学解题研究概述
第一章 观察:解题的起点
课时目标:引领学生从数与式的观察,图形的观察,条件与结论的观察以及问题结构的观察入手,理解和掌握数学解题观察的重要意义及观察法解题的基本路径(难点)。
第一节 观察的一般方法
第二节 数与式的观察
第三节 图形的观察
第四节 条件与结论的观察
第五节 问题结构的观察
第二章 化归:解题的心向
课时目标:通过对化归法解题模式的分析及典型例题的讲解,帮助学生理解和掌握特殊化、一般化、分解与组合、关系映射反演等化归策略(难点)在数学解题中的具体应用。
第一节 化归法解题模式
第二节 特殊化
第三节 一般化
第四节 分解与组合
第五节 关系映射反演
第三章 类比:解题的抓手
课时目标:引领学生从类比源、类比方法入手,理解和掌握问题解决过程中的题型结构类比、方法技巧类比、空间与平面类比、抽象与具体类比(难点)以及跨学科类比等。
第一节 类比的思维方式
第二节 题型结构的类比
第三节 方法技巧的类比
第四节 平面与空间的类比
第五节 具体与抽象的类比
第六节 跨学科的类比
第四章 直觉:解题的精灵
课时目标:引领学生理解和掌握直觉解决问题的心理机制、解题直觉的呈现、捕捉及运用(难点)等方面,并能灵活运用直觉思维进行解题。
第一节 直觉解题的心理机制
第二节 解题直觉的呈现
第三节 解题直觉的捕获
第四节 解题直觉的运用
第五章 构造:解题的突破
课时目标:通过典型例题的分析与讲解,引领学生从构造法的创造性内涵入手,理解和掌握挖掘原理背景、借用数形转换、透过结构相似以及运用等效转换等途径进行构造(难点)的具体策略。
第一节 构造法解题的思维特点
第二节 挖掘原理背景进行构造
第三节 借助数形结合进行构造
第四节 透过结构相似进行构造
第五节 运用等效转换进行构造
第六章 建模:解题的支架
课时目标:基于数学模型的基本内涵分析,引领学生深入研讨从实际问题中抽象出数学模型的基本方法,理解和掌握数学解题研究中常见常用的数学模型及其多维构建(难点)。
第一节 数学建模的基本内涵
第二节 从实际问题中抽象出数学模型
第三节 数学常见常用模型的建构
第七章 审美:解题的意愿
课时目标:通过典型例题的分析与讲解,引领学生理解和掌握对称美、简洁美、和谐美、奇异美(难点)以及数学文化等在数学解题中的具体应用方法。
第一节 审美解题的意蕴
第二节 对称美启迪解题思路
第三节 简洁美寻求解题捷径
第四节 和谐美获取解题灵感
第五节 奇异美突破解题常规
第六节 数学文化滋长解题素养
第八章 变通: 解题的调适
课时目标:结合具体问题,引领学生理解和掌握数学解题中变通思维方法(难点)以及追本溯源、变换主元、有效增设、正难则反等四个变通策略。
第一节 变通的思维
第二节 追本溯源
第三节 变换主元
第四节 有效增设
第五节 正难则反
第九章 反思:解题的延伸
课时目标:通过典型例题的讲解,引领学生理解和掌握解题后有待反思的若干问题,主要包括寻求问题的多种解法、解题错误的类型与归因、“形”与“质”的比较与分析以及问题的拓展与延伸(难点)等。
第一节 解题反思的意义
第二节 寻求问题的多种解法
第三节 解题错误的类型与归因
第四节 “形”与“质”的比较与分析
第五节 问题的拓展与延伸
结语:数学解题研究展望
课时目标:引领学生回顾本课程教学体系,(1)进一步理解和掌握数学解题研究的实质内涵,(2)了解未来解题研究的走向。
数学解题研究展望
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预备知识

       1.必备知识:能较好地理解高中数学的学习内容,包括必修和选修内容;

       2.非必备知识:对基本的数学思想和数学方法有较充分地认识和了解,最好能在课前完成《数学方法论简明教程》(第3版)(章士藻、段志贵编著,南京大学出版社,2013年出版)的学习。


参考资料

[1] 段志贵.数学解题研究——数学方法论的视角.北京:清华大学出版社,2018                [2] []波利亚.怎样解题.阎育苏,译.北京:科学出版社,1982

[3] []弗里德曼.怎样学会解数学题.陈淑敏,尹世超,译.北京:北京师范大学出版社,1988

[4] []Paul Zeitz.怎样解题——数学竞赛攻关宝典.李胜宏,译.北京:人民邮电出版社,2010

[5] []威克尔格伦.怎样解题.汪贵枫,袁崇义,译.北京:原子能出版社,1981

[6] []拉松.通过问题学解题.陶懋颀等,译.合肥:安徽教育出版社,1986

[7] 徐利治.数学方法论选讲.武汉:华中工学院出版社,1988

[8] 罗增儒.数学解题学引论.西安:陕西师范大学出版社,2008

[9] 汤炳兴,叶红.中学数学解题学习.北京:化学工业出版社,2010

[10] 和洪云,和林功.数学解题方法研究.北京:经济科学出版社,2016

[11] 余红兵,严镇军.构造法解题.合肥:中国科学技术大学出版社,2009

[12] 王思俭.高中数学思维与方法——高考数学解题智慧.南京:南京师范大学出版社,2015

[13] 马波.中学数学解题研究.北京:北京师范大学出版社,2013

[14] 顾越岭数学解题通论南宁:广西教育出版社,2000.

[15] 沈文选,杨清桃数学解题引论哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2017.

[16] 朱华伟,钱民望.数学解题策略.北京:科学出版社,2016



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盐城师范学院
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段志贵

段志贵

教授,南京师范大学硕士生导师、青海师范大学硕士生导师

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