本课程以矩阵为主线,围绕矩阵的各种运算和矩阵间的等价、相似、合同关系展开论述,内容包括矩阵、行列式、n 维向量、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型。这些知识的背后凝结着数学归纳法、等价类、标准形、不变量、数形结合、数学建模等重要的数学思想。本课程不仅适合各类高校理、工、经管等多个专业的学生,也适合其他需要线性代数基础知识的学生、教师、工程技术人员和社会人员。
完成每周的测验和作业,准确率在60%以上。
一、授课内容及教学进度
周次 | 学习内容 |
1 | 第1讲 线性代数课程绪论 |
第2讲 矩阵的定义及例子 | |
第3讲 矩阵的加法及数乘 | |
第4讲 矩阵乘法的定义 | |
第5讲 矩阵乘法的性质 | |
2 | 第6讲 矩阵的转置 |
第7讲 分块矩阵 | |
第8讲 矩阵的初等变换 | |
第9讲 初等矩阵 | |
3 | 第10讲 逆矩阵的定义及性质 |
第11讲 逆矩阵的计算 | |
第12讲 求解矩阵方程 | |
第13讲 行列式的定义 | |
4 | 第14讲 行列式的性质 |
第15讲 行列式按行(列)展开 | |
第16讲 行列式的计算 | |
第17讲 伴随阵与逆矩阵 | |
5 | 第18讲 抽象矩阵的可逆性 |
第19讲 克拉默法则 | |
第20讲 矩阵秩的定义 | |
第21讲 矩阵秩的等式 | |
第22讲 矩阵秩的不等式 | |
6 | 第23讲 向量的概念 |
第24讲 向量的线性组合和线性表示 | |
第25讲 向量组的秩 | |
7 | 第26讲 向量的线性相关性 |
第27讲 线性相关性的等价刻画I | |
第28讲 线性相关性的等价刻画II | |
第29讲 向量组的极大无关组 | |
8 | 第30讲 向量空间、基、维数和坐标 |
第31讲 基变换和坐标变换 | |
第32讲 内积 | |
第33讲 标准正交向量组和正交矩阵 | |
9 | 第34讲 线性方程组和Gauss消元法 |
第35讲 齐次线性方程组有非零解的条件 | |
第36讲 齐次线性方程组的基础解系 | |
10 | 第37讲 非齐次线性方程组的解 |
第38讲 非齐次线性方程组的解的结构 | |
第39讲 向量组极大无关组的计算 | |
第40讲 线性方程组的最小二乘解 | |
11 | 第41讲 相似矩阵的定义及性质 |
第42讲 特征值(向量)的定义 | |
第43讲 特征值(向量)的求法 | |
第44讲 特征值的性质 | |
12 | 第45讲 相似于对角阵的条件 |
第46讲 相似对角化与方阵的幂 | |
第47讲 实对称矩阵的相似对角化 | |
第48讲 已知特征值(向量),求矩阵 | |
13 | 第49讲 二次型的定义、矩阵表示及标准形 |
第50讲 用正交变换化二次型为标准形 | |
第51讲 用配方法化二次型为标准形 | |
第52讲 矩阵的合同与惯性定理 | |
第53讲 正定二次型定义及判定 |
二、教学要求
1. 矩阵
(1) 理解矩阵的概念,理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义。
(2) 理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质,熟练掌握上述运算。
(3) 了解分块矩阵的运算性质,掌握常见的分块方法和分块矩阵的运算规则。
(4) 理解矩阵的初等变换与初等矩阵的概念以及二者之间的联系,理解矩阵等价、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵以及矩阵等价标准形的概念,掌握将一个矩阵化为行阶梯形、行最简形以及等价标准形的方法。
(5) 理解矩阵的可逆性的概念,掌握判别矩阵是否可逆的方法,掌握逆矩阵的性质,掌握利用初等变换求逆矩阵以及解简单的矩阵方程的方法。
(6) 理解n阶行列式的定义,掌握行列式的性质,掌握低阶行列式及简单的高阶行列式的计算,了解行列式的乘法定理,了解伴随矩阵的概念,熟练掌握伴随矩阵的性质,掌握利用伴随矩阵计算逆矩阵的方法,理解Cramer法则,掌握用Cramer法则求解方程组的方法。
(7) 理解矩阵的秩的概念,熟练掌握矩阵的秩的求法,理解矩阵运算前后的秩之间的关系,掌握关于矩阵的秩的等式和不等式。
2.n维向量
(1) 理解向量的概念,掌握向量的线性运算的性质,理解线性组合和线性表示的概念。
(2) 理解向量组的秩的概念,理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系,熟练掌握向量组的秩的性质,理解向量组的线性相关性的概念。
(3) 掌握向量组的线性相关性的判别方法和一些常用的重要结论。
(4) 理解向量组的极大线性无关组的概念,理解向量组的极大线性无关组与向量组的秩间的关系,会求向量组的极大线性无关组。
(5) 知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念,会判断向两空间的子集是否构成子空间,会求由一向量组生成的子空间的基及它们的维数,知道坐标变换公式,会求两组基间的过渡矩阵。
(6) 理解向量的内积、长度及正交性的概念,了解向量内积的基本性质,理解向量空间的标准正交基的概念,熟练掌握Schimidt正交化方法,理解正交矩阵的概念,了解正交矩阵的性质。
3. 线性方程组
(1) 理解线性方程组的基本概念,掌握Gauss消元法。
(2) 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件,理解齐次线性方程组的基础解系的概念,熟练掌握基础解系的求法。
(3) 理解非齐次线性方程组有解的充要条件,理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系,熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法。
(4) 了解线性方程组的最佳近似解的概念和求最小二乘解的方法。
4. 矩阵的特征值和特征向量
(1) 理解相似矩阵的概念与性质。
(2) 理解矩阵的特征值、特征向量的概念,理解特征多项式、特征值、特征向量的性质,熟练掌握矩阵的特征多项式、特征值、特征向量的求法。
(3) 熟练掌握矩阵相似于对角阵的充要条件,并熟练掌握相应的对角阵及相似变换矩阵的求法。
(4) 熟练掌握实对称矩阵的性质,熟练掌握求正交矩阵将实对称矩阵化成对角阵的方法。
5.二次型
(1) 理解二次型及其矩阵表示的概念,熟练掌握二次型的矩阵的求法。
(2) 理解二次型的标准形与规范形的概念,理解合同的概念,掌握用配方法化二次型为标准形的方法,理解二次型在正交变换下的标准形与二次型的矩阵的特征值的关系,熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,理解惯性定理以及惯性指数的概念,掌握判断实对称矩阵合同的方法。
(3) 理解正定性的概念,熟练掌握判断二次型、实对称矩阵是否正定的方法。
多项式、二元一次方程组、平面向量、数学归纳法。
1. 陈建龙、周建华、张小向、韩瑞珠、周后型编,线性代数(第二版),科学出版社,2016
2. 周建华、陈建龙、张小向编,几何与代数,科学出版社,2009
3. 张小向、陈建龙编,线性代数学习指导,科学出版社,2008