趣味任务包一

<p>1.设想在寒冷的冬天房间依靠暖气提高温度，若暖气片安装在房间的一面墙上，该墙对面有一扇可以打开的窗户，在正常供暖的条件下，若将窗户打开，则房间温度会慢慢下降，最终房间各点处的温度处于平衡状态。</p><p>（1）试用图形表示在几个不同时刻，房间中离暖气片不同距离处温度的变化情况；</p><p>（2）若用表示时刻离暖气片距离为处的温度，试给出合理的具体形式，并解释关于各变量偏导数的意义。</p><p><br ></p><p>解：（1）模型假设：房间为一个长方体，墙面绝热，暖气片布满了一整面墙，同时暖气片墙对面的窗户也布满了一整面墙。</p><p>建立模型：由假设和房间的对称性可知，能用一维热传导方程描述问题，即</p><p><img src="https://img2.ph.126.net/6fOUesPWROIaGnw5ttExqQ==/6631588934210289419.png" />，其中<img src="https://img2.ph.126.net/mbQxgxZExd8iTabmRrAR9Q==/2636576106948895766.png" />为空气的热传导率，L为房间的长度。</p><p>边界条件为</p><p><img src="https://img0.ph.126.net/jU5GypshAkOLwkxMZnHYTQ==/6631750562419574667.png" />，其中<img src="https://img2.ph.126.net/bY1oArGPblr5arG5CaieUw==/6608594847538926860.png" />为暖气温度，<img src="https://img1.ph.126.net/29M-omTnF-6nt_FHUOg9Jw==/4901042294586782470.png" />为玻璃的热传导率，<img src="https://img0.ph.126.net/qIR0Xe6PM0kh-KBHgEGRkA==/1392456709887948519.png" />为牛顿冷却定律的系数。</p><p>稳态时有<img src="https://img1.ph.126.net/IITW1Yct-DxOLrbBizB9qg==/6631569143000987983.png" />，可以求出</p><p><img src="https://img1.ph.126.net/AbRZLyLbSBgLP9TvKcKZ3A==/6631456992814956433.png" />，故未开窗子前，室内的温度分布为一条直线。</p><p><br /></p><p>打开窗子后，房间内的温度不再处于稳态，此时要求解的方程为<img src="https://img1.ph.126.net/49QGFVyLK-iaxkN98fTGKg==/6631625218094003818.png" />，边界条件如下</p><p><img src="https://img2.ph.126.net/vAOf_tRtgngiWmNLjfPyJw==/6631780249233521870.png" /></p><p>在此边界条件下热传导方程似乎不能分离变量，用差分方法可以数值求解<img src="https://img0.ph.126.net/KkNg9OB9x1rNHD_bgu7UJg==/1628051265397344708.png" />。</p><p><br /></p><p>先来考虑开窗较长时间后的情形，室内温度再次达到了稳态，即满足方程</p><p><img src="https://img0.ph.126.net/zfjbnwQBYo7AUAkUj0oWkg==/4842214024455006744.png" /></p><p>可以解出<img src="https://img2.ph.126.net/dUpcngIund5zvA9NF6xJLw==/6631705482442833521.png" />，故打开窗子较长时间后，室内的温度分布为一条直线。</p><p><br /></p><p>（2）房间温度分布<img src="https://img0.ph.126.net/KkNg9OB9x1rNHD_bgu7UJg==/1628051265397344708.png" />的形式在（1）中已经给出</p><p><img src="https://img2.ph.126.net/aP60XtVdI6YypSuNX44XBw==/6631696686349715453.png" />表示在某一固定的<img src="https://img2.ph.126.net/dyIPWyFt4Slg58f2hJhSgA==/6599324865005947430.png" />处，温度随时间的变化率；</p><p><img src="https://img2.ph.126.net/KUbVOWLuoplqeHTWWEVMOw==/6631591133233545641.png" />表示在某一固定时刻，温度随位置的变化率。</p>