“复分析”是数学专业和应用数学专业的一门必修专业基础课。复分析是指复数域上的分析，它是“数学分析”的后续课程，是进一步学习微分方程、泛函分析、数学物理、微分几何、调和分析等后续课程的阶梯。

       复分析的主要研究对象是解析函数（全纯函数）。它是由微积分理论发展起来的，理论优美而深刻，在数学的其他分支及工程技术领域有着非常广泛的应用。经典的解析函数论，主要由积分理论、级数理论与共形映射理论三部分构成，分别由柯西（A. L. Cauchy）、维尔斯特拉斯（K. T. W. Weierstrass）和黎曼（G. F. B. Riemann）为代表的数学家创立。积分理论中的柯西积分定理与柯西积分公式是整个解析函数论的基础，它们从积分的角度刻画了解析函数的特性；级数理论用函数的级数展开来刻画解析函数，揭示了函数的解析性与级数展开的内在联系，同时也为计算复积分和实积分提供了重要方法；共形映射理论研究平面上区域之间的联系，是解析函数构成平面区域之间的桥梁，也使得解析函数获得了更大的应用空间。

       本课程包括各层次本科数学专业复变函数课程的主要内容，同时兼顾其他各专业对复变函数内容的需求。

课堂测试与作业占50%，期末考试占50%.

先修课程：数学分析

第一章  复数与复变函数 （第1周）

§1.1 复数域上的基本性质

§1.2 复数域上的极限和连续

§1.3 闭域上连续函数性质

§1.4 复球面与无穷远点

第二章  解析函数与保形变换 （第1周—第3周）

§2.1 可微的定义与基本性质

§2.2 Cauchy-Riemann条件与解析函数

§2.3 实可微与复可微的关系

§2.4 初等解析函数

§2.5 初等多值函数

§2.6 保形变换与分式线性变换

*§2.7 黎曼曲面

第三章  复积分 （第4周--第6周）

§3.1 复积分的基本概念和性质

§3.2 Cauchy积分定理与Cauchy积分公式

§3.3 最大模原理

第四章  级  数 （第7周—第9周）

§4.1 复数项级数

§4.2 函数项级数

§4.3 幂级数

§4.4 函数的惟一性

§4.5 双边幂级数

§4.6 孤立奇点及分类

§4.7 解析函数在无穷远点的性态

§4.8整函数与亚纯函数的概念

第五章  残数与辐角原理 （第10周—第12周）

§5.1 残数及其性质

§5.2 辐角原理与Rouché定理

§5.3 残数的应用

§5.4                                               展式

第六章  解析开拓 （第13周—第14周）

§6.1 解析开拓的基本概念与幂级数方法

§6.2 对称原理

§6.3 单值性定理

*§6.4 函数

第七章  正规族与Riemann映射定理 （第14周—第15周）

§7.1 正规族的定义与Montel定理

§7.2 Riemann映射定理与Koebe定理

§7.3 模函数与Picard小定理的证明

§7.4 正规族与Picard大定理的证明

第八章  调和函数 （第16周）  

§8.1 Poisson积分与Poisson公式

§8.2 调和函数的最大最小值定理

§8.3 调和函数的其它性质

*§8.4 调和测度的概念和一些基本性质

*§8.5 次调和函数的概念

教材： 庞学城，梁金荣，复变函数（第二版），科学出版社，2019.

参考文献：

1. 方企勤，复变函数教程，北京大学出版社,2003 .

2. 余家荣，复变函数（第三版），高等教育出版社，2004.

3. 钟玉泉，复变函数论，高等教育出版社，2004.

4. 李忠，复变函数，高等教育出版社，2011.

5.  T.Needham，复分析（可视化方法）[英]，人民邮电出版社，2007

6. J.W.Brown, R.V.Churchill, 复变函数及其应用（邓冠铁等译），机械工业出版社，2004