课程概述

常微分方程是伴随着微积分的产生和发展而成长起来的一门历史悠久的学科。从诞生之日起很快就显示出它在应用上的重要作用。特别是通过解微分方程证实了地球绕太阳的运动轨道是一个椭圆，海王星的存在是天文学家先通过微分方程的方法推算出来，然后才实际观测到的。时至今日，可以说常微分方程在所有自然科学领域和众多社会科学领域都有着广泛的应用，在数学学科内部的许多分支中，常微分方程是常用的重要工具之一，也是整个数学课程体系中的重要组成部分，常微分方程每一步进展都离不开其它数学分支的支援；反过来，常微分方程的进一步发展，又推动着其它数学分支的发展。这一古老的学科，由于应用领域的不断扩大和新理论生长点的不断涌现，它的发展至今仍充满生机和活力。在培养学生的教学计划中，其定位不仅是数学的基础课程，同时也是将以前所学的知识融会贯通，将理论知识与实际问题相结合的专业课程，对提高学生分析问题和解决问题的能力有很大帮助。通过学习本课程，学生掌握解常微分方程的基本思想和基本方法，并能够用掌握的理论和方法解决实际问题。

预备知识

要求学生具有数学分析和高等代数的知识作为基础。

授课大纲

第一章 绪 论

1.1微分方程概述

1.2微分方程基本概念

第一章 绪 论 单元测试

第一章 绪 论 单元作业

第二章 一阶微分方程的初等解法

2.1变量分离方程I

2.1变量分离方程II

2.2 一阶线性方程I

2.2 一阶线性方程II

2.3 恰当方程与积分因子I

2.3 恰当方程与积分因子II

2.4一阶隐式微分方程的解法

第二章 单元测验

第二章 单元作业

第三章 一阶微分方程的解的存在定理

3.1 存在唯一性定理I

3.1 存在唯一性定理II

3.1存在唯一性定理III

3.2解的延拓

3.3解对初值的连续性的连续性和可微性I

3.3解对初值的连续性的连续性和可微性II

3.4奇解

第三章 单元测验

第三章 单元作业

第四章 高阶微分方程

4.1 高阶线性方程的基本理论I

4.1 高阶线性方程的基本理论II

4.2常系数线性方程的解法I

4.2常系数线性方程的解法II

4.2常系数线性方程的解法III

4.2常系数线性方程的解法IV

4.2常系数线性方程的解法V

4.3 降阶法I

第四章 单元测验

第四章 单元作业

第五章 线性微分方程组

5.1存在唯一性定理I

5.1存在唯一性定理II

5.2线性方程组的一般理论I

5.2线性方程组的一般理论II

5.2线性方程组的一般理论III

5.3常系数线性方程组I

5.3常系数线性方程组II

5.3常系数线性方程组III

第五章 单元测验

第五章 单元作业

参考资料

教材：

 王高雄等，《常微分方程》（第四版），北京：高等教育出版社，2020年。

主要参考书：

 [1] 伍卓群等，《常微分方程》（第二版），北京：高等教育出版社，2023年。

 [2] 丁同仁，李承治，《常微分方程教程》（第三版），北京：高等教育出版社，2022年。

 [3] 东北师范大学微分方程教研室，《常微分方程教程》（第三版），北京：高等教育出版社，2022年。

 [4] 袁荣，《常微分方程》（第二版），北京：高等教育出版社，2020年。

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