课程概述

《复变函数与积分变换》是工科类专业的一门重要的基础理论课程，它是研究复数自变量复值函数的分析课程，包含复变函数和积分变换两大部分。在一定程度上可以说，该课程是微积分学的推广。独立成为一门课程则是因为它有着自己独特的研究对象和数学方法。对于解决工程问题，尤其是电气工程及其自动化中的自动控制、系统分析等问题有着非常重要的作用。因此，在机电一体化领域的专业课程学习之前，开设《复变函数与积分变换》课程起到了至关重要的铺垫和准备作用。

《复变函数与积分变换》课程是电气工程及其自动化专业的基础课，是高等数学课程的后续课程，是本专业学生学习信号系统、自动控制、检测与转换技术课程及工程技术相关课程的重要基础。按照电气工程及期动化专业人才培养方案，《复变函数与积分变换》课程结束之后，才可以开设《信号系统》、《检测与转换技术》、《自动控制》等专业核心课程。这些专业课程中会涉及《复变函数与积分变换》中的很多数学理论，而这些工程应用，对于大部分学来说，在学习复变函数与积分变换的过程中，不能预先感受到所需的数学理论有哪些，无法体会这门工程数学在实际问题中的作用，就会引起学生的学习动力不足，加之公式复杂烦琐，学生的困难感就会加剧。如果教师在教授过程中没有引入实际工程问题去做应用型的讲解，也会导致学生没有重点的去学习，仅凭自我兴趣进行取舍，从而出现在后续学习这些专业核心课程时，遇到数学理论不扎实、定理含义不明确等问题，再回头去《复变函数与积分变换》中查找定理、定义，再考虑其应用问题，从而增加学习专业核心课程的难度。因此，在《复变函数与积分变换》的授课过程中，应当在以下几点适当引入机电一体化领域中的实例进行讲解。

《复变函数与积分变换》科学发展的新趋势，必然给工程上带来巨大的影响。它不仅要求高校的复变函数在学科知识上需要不断更新和提升专业水平，而且也要求教师在传

授理论知识的同时，改进和更新教学手段及教学方法。既要善于根据专业需要、课程类型和培养目标、学生的年龄特征运用比较成熟的教学方法，又要紧紧跟踪现代教学法发展的动向，开阔思维，勇于接受和尝试新的教学方式，以不断适应工程技术发展新趋势的需要。复变函数经历着非常深刻的变化，面临着工程技术应用的发展趋势。研究工程技术发展的新特点，适应并赶上学科发展总的趋势，跟踪学科发展的新动向，为工程技术所用，能为信号处理服务，给出解决电气专业一系列问题。成为复变函数教学中应该关注的新课题。

证书要求

 出勤（迟到、早退等）、课堂讨论、作业等的要求 

（1）出勤

出勤是课堂教学的重要环节，学生不得无故迟到或早退。迟到 10 分钟以内，点名批评；若迟到 10 分钟以上，按旷课对待。早退同样按旷课计。旷课者一次扣除平时成绩2分，超过 5 次扣除全部出勤分。如有请病假、事假者，须出具有效证明（医院开具的病假条、学院开具的事假证明）。出勤分为10分。

（2）作业

本学期将在每一章节都有作业，我都会批改。作业质量要求：书写认真、规范，格式符合要求，书面整洁。未达到要求，每次扣 1 分。杜绝抄袭，一旦发现，取消本次作业成绩。作业满分为 10 分。 

（3）课堂纪律 

上课期间不遵守课堂秩序，讲话，看手机等，被发现点名批评的因此口1分。纪律分满分为10分。

成绩的构成与评分规则说明 

平时成绩（包括考勤、作业、课程纪律等）占总成绩的 30%，期末笔试成绩占 70%。

考试形式及说明 

期末采取闭卷考试形式，考试时间 120 分钟，满分 100 分（期末闭卷笔试占总成绩的 70%）。


预备知识

《复变函数与积分变换》是高等院校电气工程及其自动化专业必修的专业基础课程。它的先修课程为《高等数学》，《大学物理》等基础课程。同时它对于学生的专业课程学习起着承先启后的作用。该课程需要立足于高等数学和中学初等数学的知识，又要结合工程实际。才能更好的为复变函数与积分变换课程的学习和理解做好铺垫。


授课大纲

第一章 复数与复变函数

（1）掌握复数的各种表示方法及其运算（2）了解区域的概念（3）理解复变函数概念（4）了解复变函数的极限和连续的概念

课时

  • 1.1 复数
    • ,
  • 1.2 复数的三角表示
    • ,
  • 1.3 平面点集的一般概念
    • ,
  • 1.4 无穷大与复球面
    • ,
  • 1.5 复变函数

第二章 解析函数

（1）掌握复数的各种表示方法及其运算（2）了解区域的概念（3）理解复变函数概念（4）了解复变函数的极限和连续的概念

课时

  • 2.1 解析函数的概念
    • ,
  • 2,2 解析函数与调和函数的关系
    • ,
  • 2.3 初等函数

第三章 复变函数的积分

（1）了解复变函数积分的定义及性质，会求复变函数的积分（2）理解柯西积分定理（3）掌握柯西积分公式（4）掌握解析函数的高阶导数公式

课时

  • 3.1 复积分的概念
    • ,
  • 3.2 柯西积分定理
    • ,
  • 3.3 柯西积分公式
    • ,
  • 3.4 解析函数的高阶导数

第四章 解析函数的级数表示

（1）理解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念（2）会求幂级数的收敛半径（3）了解幂级数在收敛圆内的一些基本性质（4）理解泰勒定理，会将一些简单的解析函数展开为幂级数（5）理解洛朗(Laurent)定理，会用间接方法将简单的函数在其孤立奇点附近展开为洛朗级数。

课时

  • 4.1 复数项级数
    • ,
  • 4.2 复变函数项级数
    • ,
  • 4.3 泰勒（Taylor）级数
    • ,
  • 4.4 洛朗（Laurent）级数

第六章 傅里叶变换

（1）了解傅氏积分（2）理解傅氏变换的概念及性质（3）了解卷积定理

课时

  • 5.1 傅里叶变换的概念
    • ,
  • 5.2 单位冲击函数（函数）
    • ,
  • 5.3 傅里叶变换的性质

第七章 拉普拉斯变换

（1）理解拉氏变换及其存在定理（2）理解拉氏变换的性质（3）掌握逆变换公式（4）了解拉氏卷积公式（5）掌握常微分方程积分变换解法

课时

  • 7.1 拉普拉斯变换的概念
    • ,
  • 7.2 拉氏变换的性质
    • ,
  • 7.3拉普拉斯逆变换
    • ,
  • 7.4 拉氏变换的应用及综合举例

参考资料

1.《复变函数与积分变换》第三版，科学出版社，2013年，包革军等

2.《复变函数与积分变换》,清华大学出版社，2017年，张媛等

3.《复变函数与积分变换》第二版，科学出版社，2017年，宋叔尼等