课程概述

网络空间安全是一级学科。信息安全是一门新兴的交叉学科，涉及通信学科、计算机学科、数学、物理、生物、法律和管理学科等多个学科，其核心技术是密码技术。而密码技术的基础是数学，主要是数论, 代数和椭圆曲线论等数学理论。本课程结合信息安全和密码学的理论和工程实践，用严格的数学语言对信息安全和密码学所涉及的数学理论给出了详细的推理和说明，包括一些具体的例子，为学生以及从事信息安全工作的人打下坚实的理论基础，有助于跟上信息安全和密码学的最新进展，并提高创新能力和做出创新工作。

证书要求

为积极响应国家低碳环保政策， 2021年秋季学期开始，中国大学MOOC平台将取消纸质版的认证证书，仅提供电子版的认证证书服务，证书申请方式和流程不变。

 

电子版认证证书支持查询验证，可通过扫描证书上的二维码进行有效性查询，或者访问 https://www.icourse163.org/verify，通过证书编号进行查询。学生可在“个人中心-证书-查看证书”页面自行下载、打印电子版认证证书。

 

完成课程教学内容学习和考核，成绩达到课程考核标准的学生（每门课程的考核标准不同，详见课程内的评分标准），具备申请认证证书资格，可在证书申请开放期间（以申请页面显示的时间为准），完成在线付费申请。

 

认证证书申请注意事项：

1. 根据国家相关法律法规要求，认证证书申请时要求进行实名认证，请保证所提交的实名认证信息真实完整有效。

2. 完成实名认证并支付后，系统将自动生成并发送电子版认证证书。电子版认证证书生成后不支持退费。


预备知识

线性代数。

授课大纲

第一章 整数的可除性

1.0 教学理念

1.1 整除因数

1.2 素数与厄拉脱塞师筛法

1.3 欧几里得除法与素数的平凡判别

1.4 最大公因数与广义欧几里得除法

1.5 贝祖（Bezout）等式

1.6 最大公因数进一步的性质

1.7 整数的进一步性质及最小公倍数

1.8 算术基本定理与素数定理

作业 1.1 20250217

作业1.3 20250217

作业 1.4 20250217

作业 1.5 20250217

作业 1.6 20250217

作业 1.7 20250217

作业 1.8 20250217

第二章 同余

2.1 同余的基本概念和性质

2.2 剩余类与完全剩余系

2.3 简化剩余系与欧拉函数

2.4 欧拉定理 费马小定理 Wilson 定理

2.5 模重复平方法

作业 2.1 20250218

作业 2.2 20250218

作业 2.3 20250218

作业 2.4 20250218

作业 2.5 20250218

第三章 同余式

3.1 同余式的基本概念与一次同余式

3.2 中国剩余定理之物不知数与韩信点兵

3.3 2个方程的中国剩余定理

3.4 中国剩余定理及其证明

3.5 中国剩余定理之算法优化

3.6 高次同余式的解数及解法

3.7 素数模的同余式

3.1 作业 20250219

3.2 作业 20250219

3.3 作业 20250219

3.4 作业 20250219

3.5 作业 20250219

3.6 作业 20250219

3.7 作业 20250219

第四章 二次同余式与平方剩余

4.1 二次同余式与二次剩余

4.2 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余

4.3 勒让得符号

4.4 高斯引理

4.5 二次互反律

4.6 雅可比符号

4.7 模 p=4k+3 的平方根

4.8 模 p 平方根

4.9 x^2+y^2 = p

4.1 作业 20250220

4.2 作业 20250220

4.3 作业 20250220

4.4 作业 20250220

4.5 作业 20250220

4.6 作业 20250220

4.7 作业 20250220

4.9 作业 20250220

第五章 原根与指标

5.1 指数

5.2 大指数的构造

5.3 模 p 原根

5.4 模 p^a 原根

5.5 模 2^a 指数

5.6 模 m 原根

5.1 作业 20250221

5.2 作业 20250221

5.3 作业 20250221

5.4 作业 20250221

5.5 作业 20250221

5.6 作业 20250221

第六章 素性检验

6.1 伪素数

6.2 Carmicheal 数

6.3 Euler 伪素数

6.4 强伪素数

6.1 作业 20250222

6.2 作业 20250222

6.3 作业 20250222

6.4 作业 20250222

第七章 连分数

7.1 简单连分数

7.2 连分数

7.3 简单连分数的进一步性质

7.4 最佳逼近

7.5 n 之平方根与因数分解

7.1 作业 20250223

7.2 作业 20250223

7.3 作业 20250223

7.4 作业 20250223

7.5 作业 20250223

参考资料
  • 《信息安全数学基础（第2版）》，陈恭亮，清华大学出版社，2014年10月第2版，2021年8月第12次印刷，总印数52,500册。被评为2016年国家级网络安全优秀教材奖（网信办）。2021年首批上海高等教育精品教材。
  • 《简明信息安全数学基础》，陈恭亮，高等教育出版社，2011年1月1日。
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为什么说 RSA 密码系统的核心是欧拉定理？且RSA 安全性基于大整数分解难题？

设 p 为素数，如何构建有限域 F_p?  且如何求模 p 原根 g，使得 F_p^* = < g > ?