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高等数学(二)(北京物资学院)

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课程概述

高等数学课程是研究空间形式和数量关系的基础学科,不仅在理工科领域中占有重要地位,而且已渗透到其他各个领域,正日益成为经济、管理、金融、人文科学等学科进行科学研究的重要手段和工具,学好这门课对学生今后的发展是至关重要的。高等数学也是高等学校各专业的一门重要的必修课基础课、学位课和研究生入学考试课程,是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。

    开设本课程的目的是为了使学生获得一元微积分学、多元微积分学、空间解析几何与向量代数、无穷级数(包括傅立叶级数)及常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能,为学习后继课程和进一步学习其他课程奠定必要的数学基础。


成绩要求

单元测试与作业占50%,讨论占10%,期末考试占40%,按百分制计算,60分至79分为合格,80分至100分为优秀。

预备知识

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授课大纲

第八章 空间解析几何与向量代数

第一节 向量及其线性运算

8.1.1向量的概念

8.1.2向量的线性运算

8.1.3空间直角坐标系

8.1.4利用坐标作向量的线性运算

8.1.5向量的模、方向角、投影

第二节 数量积  向量积

8.2.1数量积的概念、性质及运算规律

8.2.2数量积的坐标表示及应用

8.2.3向量积的概念、性质及运算规律

8.2.4向量积的坐标表示及应用

第三节 曲面及其方程

8.3.1曲面方程的概念

8.3.2旋转曲面

8.3.3柱面

8.3.4椭球面和抛物面

8.3.5双曲面和椭圆锥面

第四节 空间曲线及其方程

8.4.1空间曲线的一般方程和参数方程

8.4.2空间曲线在坐标面上的投影

第五节 曲面及其方程

8.5.1平面的点法式和截距式方程

8.5.2平面的一般方程

8.5.3两平面的夹角

第六节 空间直线及其方程

8.6.1空间直线方程的三种形式及其相互转化

8.6.2直线与直线、直线与平面的位置关系

8.6.3例题分析

第九章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的基本概念

9.1.1平面点集

9.1.2多元函数的定义

9.1.3多元函数极限(一)

9.1.4多元函数极限(二)

9.1.5多元函数连续性概念

9.1.6闭区域上多元连续函数的性质

第二节 偏导数

9.2.1偏导数的定义及其计算方法

9.2.2关于偏导数的说明及其几何意义

9.2.3高阶偏导数

第三节 全微分

9.3.1全微分的概念

9.3.2可微与偏导存在的关系

第四节 多元复合函数的求导法则

9.4.1复合函数求导(偏导)链式法则

9.4.2复合函数求导(偏导)举例(一)

9.4.3复合函数求导(偏导)举例(二)

第五节 隐函数的求导公式

9.5.1由一个方程确定的隐函数导数(偏导)求法

9.5.2由方程组确定的隐函数导数(偏导)求法

第六节 多元函数微分学的几何应用

9.6.1一元向量值函数的概念

9.6.2向量值函数导数的几何、物理意义及应用

9.6.3空间曲线的切线及法平面

9.6.4空间曲面的切面及法线

第七节 方向导数与梯度

9.7.1方向导数的概念

9.7.2方向导数的求法4+2

9.7.3梯度的概念

9.7.4梯度的几何意义、物理意义及求法

第八节 多元函数的极值及其求法

9.8.1多元函数极值的概念及判别方法

9.8.2多元函数极值及最值求法

9.8.3条件极值的拉格朗日乘数法

9.8.5拉格朗日乘数法应用举例

第十章 重积分

第一节 二重积分的概念与性质

10.1.1二重积分问题引例

10.1.2二重积分的概念及几何意义

10.1.3二重积分的性质及应用举例

第二节 二重积分的计算方法

10.2.1曲顶柱体体积的计算方法

10.2.2直角坐标系下二重积分的计算方法之一

10.2.3直角坐标系下二重积分的计算方法之二

10.2.4二重积分计算时奇偶对称性的利用

10.2.5二重积分的交换积分次序问题

10.2.6利用极坐标计算二重积分的方法

10.2.7极坐标下二重积分的计算举例

10.2.8二重积分的应用举例—求体积

第三节 三重积分

10.3.1三重积分的概念与性质

10.3.2直角坐标下三重积分计算方法

10.3.3直角坐标下三重积分计算举例

10.3.4柱面坐标下三重积分计算方法

10.3.5柱面坐标下三重积分计算举例

10.3.6球面坐标下三重积分的计算

第四节 重积分的应用

10.4.1立体的体积

10.4.2曲面的面积

10.4.3质心

10.4.4转动惯量

10.4.5引力

第十一章 曲线积分与曲面积分

第一节 对弧长的曲线积分

11.1.1对弧长曲线积分的概念和性质

11.1.2对弧长曲线积分的计算方法

11.1.3对弧长曲线积分计算举例

第二节 对坐标的曲线积分

11.2.1对坐标曲线积分的概念和性质

11.2.2对坐标曲线积分的计算方法

11.2.3对坐标曲线积分的例题分析

11.2.4两类曲线积分之间的联系

第三节 格林公式及其应用

11.3.1格林公式

11.3.2格林公式应用举例(一)

11.3.3格林公式 应用举例(二)

11.3.4积分与路径无关的几个等价命题

11.3.5函数全微分求积举例

第四节 对面积的曲面积分

11.4.1对面积曲面积分的概念及性质

11.4.2对面积曲面积分的计算方法

11.4.3对面积曲面积分的计算方法(续)

第五节 对坐标的曲面积分

11.5.1对坐标曲面积分的概念和性质

11.5.2对坐标曲面积分的计算方法

11.5.3两类曲面积分之间的联系

第六节 高斯公式

11.6.1高斯公式

11.6.2高斯公式 (续)

第七节 斯托克斯公式

11.7.1斯托克斯公式

第十二章 无穷级数

第一节 常数项级数的概念和性质

12.1.1常数项级数的基本概念

12.1.2常数项级数敛散性判别举例

12.1.3常数项级数的性质

12.1.4常数项级数收敛的必要条件及应用

第二节 常数项级数的审敛法 

12.2.1正项级数的概念及比较审敛法原理

12.2.2比较审敛法原理应用例题分析

12.2.3正项级数比较审敛法的极限形式

12.2.4比值审敛法(达朗贝尔判别法)

12.2.5根植判别法(柯西判别法)

12.2.6交错级数及其审敛法

12.2.7绝对收敛与条件收敛

第三节 幂级数

12.3.1函数项级数的一般概念

12.3.2幂级数及其收敛性

12.3.3幂级数收敛半径、收敛区间(域)的求法

12.3.4幂级数的运算

12.3.5幂级数和函数求法(一)

12.3.6幂级数和函数求法(二)

第四节 函数展开成幂级数

12.4.1泰勒级数概念及收敛定理

12.4.2函数展开式幂级数的直接展法

12.4.3函数展开式幂级数的间接展法(一)

12.4.4函数展开式幂级数的间接展法(二)

第五节 函数幂级数展开式的应用

12.5.1利用函数的幂级数展开式近似计算(一)

12.5.2利用函数的幂级数展开式近似计算(二)

第七节 傅里叶级数

12.7.1三角级数及三角函数系的正交性

12.7.2函数展开式傅里叶级数

12.7.3傅里叶级数收敛定理

12.7.4函数展开式傅里叶级数方法举例

12.7.5正弦级数和余弦级数

第八节 一般周期的函数的傅里叶级数

12.8.12L 为周期函数的周期函数的傅里叶级数

12.8.2非奇、偶、非周期的函数的傅里叶级数展开式举例


参考资料

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[1] 同济大学数学系.高等数学(上).6版.北京:高等教育出版社,2007.

[2] 同济大学数学系.高等数学(下).6版.北京:高等教育出版社,2007.

[3] 田立平,谢斌.微积分.2版.北京:机械工业出版社,2013.

[4] 田立平,鞠红梅.高等数学中的典型问题及分析.北京:机械工业出版社,2014.

[5] 田立平,鞠红梅.高等数学(上).2版.北京:机械工业出版社,2014.

[6] 田立平,鞠红梅.高等数学(上).2版.北京:机械工业出版社,2014.