课程概述

近世代数即抽象代数，它是研究各种代数结构的一门学科。1832年法国数学家伽罗瓦运用群的思想彻底解决了用根式求解多项式方程的可能性问题。他是第一个提出群的思想的数学家，一般称他为近世代数创始人。其思想和方法已渗透到教学和科研工作的很多领域，成为包括计算机科学在内的很多学科从事开发研究人员的基本原工具。近世代数课程的内容包括：集合论、群、环与域等。

证书要求

课程成绩评定由三部分构成：

（1）单元测验：在每一章学习结束后有一次单元测验，题型为选择题，所有单元测验分数占课程总成绩的30%。

（2）作业：积极完成作业， 作业成绩占课程总成绩的10%。（生生互评和老师评价）

（3）课程考试：课程结束后，学生可以参加课程的最后考试，考试成绩占总成绩的60%。

完成课程学习并考核合格(>=60分)的可获得合格证书，成绩优秀(>=85分)的可获得优秀证书。


预备知识

高等代数或线性代数

授课大纲

基本概念

1. 理解和掌握映射的概念及性质，代数运算等概念及性质， 理解集合的概念，了解元素与集合之间的关系、集合的相等、集合的运算等。2. 掌握同态、同构的概念和有关性质的结论。

课时

  • §1 集合
    • ,
  • 1) 集合、幂集和积集的概念
    • ,
  • 2) 真子集、并集、交集的概念
    • ,
  • §2 映射
    • ,
  • 1) 映射的定义
    • ,
  • 2) 像、逆像的概念
    • ,
  • §3 代数运算
    • ,
  • 1) 代数运算的概念
    • ,
  • 2) 二元运算的定义
    • ,
  • §4 结合律
    • ,
  • 1) 结合律的定义
    • ,
  • 2) 结合律的性质定理
    • ,
  • §5 交换律
    • ,
  • 1) 交换律的定义
    • ,
  • 2) 交换律的性质定理
    • ,
  • §6 分配律
    • ,
  • 1) 第一分配律和第二分配律的定义
    • ,
  • 2) 第一分配律和第二分配律的性质定理
    • ,
  • §7 一一映射、变换
    • ,
  • 1) 满射的定义、单射、一一映射的定义
    • ,
  • 2) 变换、满射变换、单射变换、一一变换
    • ,
  • §8 同态
    • ,
  • 1) 同态映射
    • ,
  • 2) 同态满射
    • ,
  • §9 同构、自同构
    • ,
  • 1) 同构映射的定义
    • ,
  • 2) 自同构的定义
    • ,
  • §10 等价关系与集合的分类
    • ,
  • 1) 关系、等价关系、集合的分类的概念
    • ,
  • 2) 全体代表团、同余关系、剩余类的例子
    • ,

群论

1. 了解群的第一、第二定义，并掌握两者之间的等价转换，理解左、右单位元，左、右逆元意义，掌握有限群、无限群、群的阶和交换群的概念，并会验证一个代数结构是否为群。2. 掌握单位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定义，能熟练掌握群中元素的阶的概念，会计算群中元素的阶，掌握置换群、循环群、子群、不变子群、商群的概念和有关性质的结论。

课时

  • §1群的定义
    • ,
  • 1） 群的第一定义
    • ,
  • 2） 群的第二定义
    • ,
  • 3） 群的阶的概念
    • ,
  • 4） 有限群、无限群、交换群
    • ,
  • §2单位元、逆元、消去律
    • ,
  • 1） 单位元、消去律、逆元的概念
    • ,
  • 2） 群的简单性质
    • ,
  • 3） 群中元素的阶的概念
    • ,
  • §3有限群的另一定义
    • ,
  • §4群的同态
    • ,
  • 1） 群的同态定理
    • ,
  • 2） 群同态的性质
    • ,
  • §5变换群
    • ,
  • 1） 恒等变换与变换群的定义
    • ,
  • 2） 同构的性质、凯莱定理
    • ,
  • §6置换群
    • ,
  • 1） 置换、置换群、对称群的概念
    • ,
  • 2） 对称群的阶
    • ,
  • 3） k-循环置换的概念
    • ,
  • 4） k-循环置换的性质
    • ,
  • §7循环群
    • ,
  • 1） 循环群、生成元的概念
    • ,
  • 2） 循环群的例子—剩余类加群
    • ,
  • 3） 循环群的结构与性质
    • ,
  • 4） 循环群在组合设计、代数编码和密码学中的应用介绍
    • ,
  • §8子群
    • ,
  • 1） 子群的定义
    • ,
  • 2） 子群的判别条件
    • ,
  • 3） 子群的生成方法
    • ,
  • §9子群的陪集
    • ,
  • 1） 子群左、右陪集以及指数的概念及性质
    • ,
  • 2） 指数的概念与拉格朗日定理
    • ,
  • §10不变子群与商群
    • ,
  • 1） 不变子群的定义及等价条件、商群的定义和例子
    • ,
  • 2） 不变子群的陪集、群的中心的概念
    • ,
  • 3） 不变子群的判别
    • ,
  • 4） 不变子群的性质
    • ,
  • 5） 群在代数编码与密码学中的应用问题介绍
    • ,
  • §11同态与不变子群
    • ,
  • 1） 不变子群的定义及等价条件、商群的定义和例子
    • ,
  • 2） 不变子群的陪集、群的中心的概念
    • ,
  • 3） 不变子群的判别
    • ,
  • 4） 不变子群的性质、群同态定理
    • ,

环与域

1. 掌握环、环的分类，子环、环的同态，以及理想、商环、多项式环的概念及性质。了解同态、同构环之间的性质，并对环、除环的中心有一定的了解。2. 掌握最大理想、素理想的概念和有关性质的结论。

课时

  • §1加群、环的定义
    • ,
  • 1） 加群、零元的定义
    • ,
  • 2） 环的定义、环的基本性质
    • ,
  • §2交换律、单位元、零因子、整环
    • ,
  • 1） 交换律、交换环的定义
    • ,
  • 2） 单位元的概念，环的单位元
    • ,
  • 3） 剩余类环
    • ,
  • 4） 整环
    • ,
  • §3除环和域
    • ,
  • 1） 除环的定义
    • ,
  • 2） 域的定义及域的代数结构
    • ,
  • 3） 四元素除环
    • ,
  • §4无零因子环的特征
    • ,
  • 1） 环的特征的定义
    • ,
  • 2） 无零因子环的性质定理
    • ,
  • §5子环、环的同态
    • ,
  • 1） 子环、子整环、子除环的定义
    • ,
  • 2） 子环的性质定理
    • ,
  • 3） 环同态定理
    • ,
  • §6多项式环
    • ,
  • 1） 多项式、多项式环的定义
    • ,
  • 2） 未定元、一元多项式、次数、无关未定元的概念
    • ,
  • 3） 多项式环的有关结果
    • ,
  • §7理想
    • ,
  • 1）理想的概念，素理想和极大理想的概念及相关结论
    • ,
  • 2）主理想的有关结果
    • ,
  • §8剩余类环、同态与理想
    • ,
  • 1）剩余类、剩余类环的概念
    • ,
  • 2）环同态定理
    • ,
  • 3）环同态满射的性质定理
    • ,
  • §9最大理想
    • ,
  • 1）最大理想的概念
    • ,
  • 2）最大理想的性质
    • ,
  • §10商域
    • ,
  • 1）域的性质定理
    • ,
  • 2）商域的结构及其性质
    • ,

整环里的因子分解

1. 理解和掌握唯一分解环、欧氏环、主理想环的概念及性质。2. 掌握多项式环的因子分解。

课时

  • §1素元、唯一分解
    • ,
  • 1）整除、因子、单位、相伴元、素元的概念
    • ,
  • 2）素元的性质定理
    • ,
  • 3）整环的性质定理
    • ,
  • 4）整环的单位的求法
    • ,
  • §2唯一分解环
    • ,
  • 1）唯一分解环的定义
    • ,
  • 2）唯一分解环的性质定理
    • ,
  • 3）公因子、最大公因子的概念和性质
    • ,
  • §3主理想环
    • ,
  • 1）主理想环的定义
    • ,
  • 2）主理想环与唯一分解环的关系
    • ,
  • §4欧氏环
    • ,
  • 1）欧氏环的定义
    • ,
  • 2）欧氏环、主理想环、唯一分解环的关系
    • ,
  • 3）欧氏环与整数环、多项式环的关系
    • ,
  • §5多项式环的因子分解
    • ,
  • 1）本原多项式的定义
    • ,
  • 2）本原多项式的可约性和唯一分解问题
    • ,
  • 3）多项式环的性质
    • ,
  • §6因子分解与多项式的根
    • ,
  • 1）多项式的根、重根的定义
    • ,
  • 2）多项式重根的判别方法
    • ,

扩域

1. 理解和掌握素域、扩域的概念及性质，熟练掌握单扩域的构造及其结构。2. 掌握代数扩域的概念和性质。

课时

  • §1扩域、素域
    • ,
  • 1）扩域的定义
    • ,
  • 2）素域的定义
    • ,
  • 3）扩域的性质
    • ,
  • §2单扩域
    • ,
  • 1）代数元、超越元、单代数扩域、单超越扩域的定义
    • ,
  • 2）极小多项式的概念及其性质
    • ,
  • 3）单代数扩域和单扩域的性质
    • ,
  • §3代数扩域
    • ,
  • 1）代数扩域、有限扩域、无限扩域的定义
    • ,
  • 2）有限扩域的性质
    • ,
  • 3）有限扩域、单代数扩域和代数扩域的关系
    • ,
  • §4多项式的分裂域的概念和性质
    • ,
  • §5有限域
    • ,
  • 1） 有限域的代数结构
    • ,
  • 2） 有限域在编码密码学中的应用实例
    • ,

参考资料

教  材： 张禾瑞《近世代数》，高等教育出版社，2010年5月

参考书： 吴品三《近世代数》,人民教育出版社， 1982年2月

焦争鸣等《近世代数》,电子科技大学出版社，1998年7月

刘绍学《近世代数》, 高等教育出版社

          阮传概、孙伟编著《近世代数及其应用》，北京邮电大学出版社，2002年7月