数学分析
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课程评价
spContent=数学分析是连接初等数学与高等数学的桥梁,是数学类专业最重要的基础课之一。数学分析在数学专业中的地位是由其本身丰富的内容,严密完整的体系以及对后继课程的深刻影响所决定的,它是进一步学习数学类后继课程和应用型课程(如金融、信息、工程等)的阶梯。
—— 课程团队
课程概述

《数学分析》课程基本的内容有:极限理论、连续性理论、一元函数微分学、一元函数积分学、级数理论、多元函数微分学、多元函数积分学等。数学的思考方式具有抽象化,逻辑推理等鲜明的特色,这些能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现,数学分析课程正具有这样的功能。


授课目标
使学生正确理解和掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本论证方法,获得熟练的运算技能、严格的逻辑思维能力和分析解决问题的能力是本课程教学的基本目标。通过本课程的学习,学生一般具有较强的自学能力和运用数学分析知识解决问题的定性分析、定量计算能力.
课程大纲

第一章 实数集与函数

§1.实数:实数及其性质,绝对值与不等式

§2.数集与确界原理:区间与邻域、有界集、确界原理。

§3.函数概念:定义、表示法、四则运算、复合运算、反函数、初等函数

§4.具有特性的函数:有界函数、单调函数、奇函数和偶函数、周期函数

本章重点:函数定义及相关概念,确界概念及相关运算

难点:用定义验证函数的某些特性,理解确界概念,验证确界及确界运算

 

第二章 数列极限

§1.数列极限概念:数列极限定义,无穷小数列

§2.收敛数列的性质

§3.数列极限存在的条件。

本章重点:数列极限的定义、性质及存在条件

难点:对“”定义的理解,否定陈述,利用极限存在条件验证数列收敛或发散。

 

第三章 函数极限

§1.函数极限概念(各种不同变化过程的函数极限定义)

§2.函数极限的性质

§3.函数极限存在的条件

§4.两个重要极限

§5.无穷小量与无穷大量,阶的比较

本章重点:各种不同极限过程的函数极限定义及其否定的陈述,求函数极限,判断极限存在或不存在,等价无穷小量的运用。

难点:求某些函数极限及判断极限存在性。

 

第四章 函数的连续性

§1.连续性概念:点态连续,区间上连续,间断点及其分类。

§2.连续函数的性质:局部性质,反函数的连续性,复合函数的连续性,闭区间上连续函数的性质,一致连续性。

§3.初等函数的连续性

本章重点:连续性概念,连续性判断,连续性与极限计算,闭区间上连续函数的性质

难点:连续函数性质的应用,一致连续性的判断。

 

第五章 导数与微分

§1.导数概念:导数定义及导函数

§2.求导法则:四则运算法则,反函数求导法则,复合函数求导法则。

基本初等函数求导公式

§3.微分:微分概念,可微条件,微分运算法则,利用微分作近似计算

§4.高阶导数与高阶微分

§5.参数方程所确定的函数的导数

本章重点:导数及微分定义,各种求导运算法则及求导公式,常用的高阶导数表达式

难点:求复合函数导数的链式法则

 

第六章 微分中值定理及其应用

§1Lagrange定理和函数的单调性

§2Cauchy定理与不定式极限:型,型及其它

§3Taylor公式,两种余项形式及应用

§4.函数的极值与最大(小)值

§5.函数的凸性与拐点

§6.函数图象的讨论

本章重点:中值定理及其应用,运用导数研究函数

难点:适时应用中值定理及Taylor公式

 

第七章 实数的完备性

§1.关于实数完备性的基本定理:确界存在定理,单调有界原理,区间套定理,Cauchy收敛准则,聚点定理,列紧性定理,有限复盖定理及其等价性证明。

§2.闭区间上连续函数性质的证明

§3.上极限与下极限

本章重点:完备性定理的陈述与理解

难点:完备性定理等价性证明及定理的应用


预备知识

高中数学

证书要求

通过平时考核和期末考核。

参考资料

教材:华东师范大学数学系编. 数学分析(第四版). 高等教育出版社, 2011.

主要参考书:

[1] 常庚哲,史济怀. 数学分析教程(第三版), 中国科学技术大学出版社,2013.

[2] 徐森林,薛春华. 数学分析. 清华大学出版社, 2005.

[3] 菲赫金哥尔茨. 微积分学教程(第八版).  高等教育出版社, 2006.

[4] W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis. 机械工业出版社,2004.

[5] 庄亚栋,王慕三,数学分析,高等教育出版社,1990.

[6] 谢惠民, 恽自求等编. 数学分析习题课讲义. 高等教育出版社, 2003.

常见问题

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