高等代数选讲
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spContent=高等代数是数学专业的重要基础课,本课程是高等代数课程内容的加深与提高,聚焦重点和难点,帮助学习者更系统透彻地掌握基本的代数理论和抽象严格的代数方法,并帮助考研学生加深对课程内容的理解,掌握解题方法及技巧,增强应用能力。
—— 课程团队
课程概述

本课程内容包括:多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、内积空间等。对基础知识进行梳理,对基本方法和技巧进行提炼和拓宽,并适当介绍线性代数理论的进一步的相关知识,以拓宽知识面,为进一步学习相关后继课程打下基础,并培养学习者具备一定的数学研究能力。


授课目标

《高等代数选讲》是《高等代数》课程内容的进一步加深与提高,以帮助学生掌握系统的代数理论和代数方法,并帮助考研学生进一步了解高等代数的相关结果和方法。

课程大纲

大纲内容与基本要求

 

第一章  多项式

1.1 数域P上一元多项式环

1.2 整除、互素、最大公因式

1.3 因式分解理论

1.4 多项式的根

    教学要求:

  理解多项式的有关定义、性质; 掌握多项式的整除最大公因式、重因式,多项式的因式分解定理及内容; 掌握复数域、定义域,有理数域上多项式的因式分解理论。

 

第二章  行列式

2.1 行列式的定义和性质

2.2行列式计算的一般方法

2.3 典型行列式

2.4 分块矩阵的行列式 

   教学要求:

掌握行列式的定义性质及行列式的计算及应用。

 

第三章  线性方程组

3.1 线性方程组的基本内容

3.2 向量组的线性相关性

3.3 线性方程组的解

  教学要求:

掌握线性方程组的高斯消元法、线性方程组的有解判别定理、解的性质与结构,向量组的线性相关性理论等内容。

 

第四章  矩阵

4.1 矩阵的基本概念及运算

4.2 矩阵的秩与矩阵的满秩分解

4.3 矩阵的分解

4.4 矩阵的逆与广义逆

4.5 矩阵的特征值、特征向量

教学要求:

掌握矩阵的定义、运算及性质,方阵的逆, 初等矩阵及分块矩阵、矩阵方程与矩阵的三角分解的理论及应用。

 

第五章  二次型

5.1 二次型的定义及表示形式

5.2 标准形与规范形

5.3 正定二次型

  教学要求:

  掌握二次型的概念及表示形式,二次型的标准形及唯一性理论; 掌握正定二次型的定义及等价刻划条件。

 

第六章  线性空间

6.1 线性空间的定义及简单性质

6.2 线性空间的基与维数

6.3 线性空间的子空间和线性空间的同构

  教学要求:

  掌握线性空间的定义及性质,维数、基与坐标及基变换与坐标变换理论,理解并掌握子空间及其交与和、直和的性质。掌握商空间、线性空间同构的充要条件。

 

第七章  线性变换

7.1 线性变换及其矩阵

7.2 线性变换的特征值与特征向量及对角化

7.3 值域、核与不变子空间

  教学要求:

    理解线性变换的定义、运算及其矩阵的有关知识,掌握相似矩阵的分类,对角化的条件,特征多项式与最小多项式;掌握线性变换的对角化的理论及线性变换的值域与核及不变子空间。

第八章  λ-矩阵

8.1 λ-矩阵的定义及标准形

8.2 矩阵相似的条件及相似标准形

教学要求:

  掌握λ-矩阵及其标准形概念及λ-矩阵不变因子、行列式因子、初等因子的概念及性质; 了解矩阵相似的条件及若当标准形的理论推导。

 

第九章  欧氏空间

9.1 欧几里得空间的定义及基本性质

9.2 标准正交基

9.3 子空间、正交补与同构

9.4 正交变换与正交矩阵

9.5 对称变换与对称矩阵

教学要求:

了解内积空间的定义及性质; 掌握标准正交基底的条件,施密特正交化,满秩阵的正交三角分解的概念及性质,内积空间的同构及充要条件及子空间的相关概念及性质;掌握正交变换的定义及性质及等价刻划条件; 掌握实对称矩阵的标准形。


预备知识

需要学习者预先掌握北京大学《高等代数》(第四版)课程的基本内容,包括多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、内积空间等

证书要求

参考资料

[1] 朱世平,郭曙光,张勇,高等代数选讲,南京:南京大学出版社,2016.

[2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组,《高等代数》(第四版),北京,高等教育出版社,2013.

[3] 丘维声,《高等代数》(上下册),大学高等代数课程创新教材,北京:清华大学出版社,2010.

[4] 陈利国,高等代数选讲,徐州:中国矿业大学出版社, 2002.

[5] 王正文,高等代数分析与研究,山东:山东大学出版社,1994.

[6] David C. Lay,  Stenen R. Lay, Judi J. Macdonald, Linear Algebra and Its Applications (5ed), London, Pearson, 2014.