数学分析(二)
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课程评价
spContent=《数学分析》是数学专业最重要的专业基础课,开设周期长,知识含量多,技能要求高,内容丰富,体系严密,是所有后继课程学习的基础,是数学专业研究生入学考试必考课程。既是连接初等数学与现代数学的桥梁,又是现代数学的基础,本课程包含基本理论、方法、疑难问题解析、考研要点综述和考研真题选讲。
—— 课程团队
课程概述

“数学分析”是一门超大规模的课程,又是数学学习的基础课程,内容涵盖实数理论、极限与连续、导数与微分、积分、无穷级数、多元函数微分、含参量积分、曲线曲面积分、重积分、曲面积分等众多内容,学完整个课程一般需要三个学期。为了便于学习者学习,我们将“数学分析”分为数学分析(一)“数学分析(二)”“数学分析(三)”和“数学分析(四)4个板块进行。每个板块的学习时间大约8-10周。

“数学分析(二)”的教学内容包括:实数的完备性、一元函数的积分学、平面点集理论、多元函数的极限与连续。课程目标是通过系统学习和相关的数学训练,使学生逐步提高数学修养和数学学习能力,掌握数学的基本思想方法,打好理论基础为后继学习做准备,最终使学生的数学思维能力得到根本的提高。

       本课程的教学内容安排主要参照华东师大数学系编写的《数学分析》教材,配合其他通用数学分析教材,并对教学内容进行适当调整。课程适合数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、金融学、管理与运筹、理工科中对数学有较高要求专业的学生,以及数学爱好者作为数学基础课学习。

授课目标

课程目标是通过精讲数学分析基本理论、基本方法,分析疑难问题和考研要点,精选细讲考研真题和经典例题,帮助同学们尽快提升数学修养、分析问题和解决问题的能力,掌握数学分析的基本思想方法和基本技能,高质量的学好数学分析这门至关重要的专业基础课程,为进一步数学学习和研究打下坚实的理论基础。

课程大纲

《数学分析》(二)授课大纲

第一单元 实数系的完备性

 1.1.1区间套定理

 1.1.2聚点定理与致密性定理

 1.2.1确界与连续归纳法的等价性

 1.2.2有限覆盖定理与区间套定理的等价性

 1.3.1上(下)极限的定义与性质(一)

 1.3.2上(下)极限的性质(二)

 1.4.1实数的完备性基本定理 疑惑解析

 1.4.2实数的完备性基本定理 考点分析

 14.3实数的完备性基本定理 考题选讲 

 单元测试

 单元作业

第二单元 不定积分

 2.1.1原函数与不定积分

 2.1.2换元积分法

 2.1.3分部积分法

 2.2.1有理函数的部分分式分解

 2.2.2三角函数有理式的不定积分

 2.3.1某些无理函数的不定积分

 2.4.1不定积分 疑惑解析

 2.4.2不定积分 考点分析

 2.4.3不定积分 考题选讲

 2.4.4分部积分法与有理函数的积分 考题选讲  

 单元测试

 单元作业

第三单元 定积分

 3.1.1 定积分的概念

 3.1.2 上和与下和

 3.2.1 可积的充要条件

 3.2.2 可积函数类

 3.2.3 定积分的性质

 3.2.4 定积分的性质(II)

 3.3.1 微积分学基本定理

 3.3.2 定积分换元法与分部积分法

 3.3.3 积分中值定理

 3.3.4 积分第二中值定理

 3.4.1 定积分疑惑解析

 3.4.2 定积分考点分析

 3.4.3 定积分的计算 考题选讲  

 单元测试

 单元作业

第四单元 定积分的应用

 4.1.1直角坐标方程表示的平面图形的面积

 4.1.2极坐标下平面图形的面积、由平行截面面积求体积

 4.1.3由平行截面面积求体积例题

 4.2.1平面曲线的弧长

 4.2.2平面曲线的曲率

 4.2.3旋转曲面的面积

 4.3.1液体静压力、引力、功与功率

 4.3.2定积分与近似计算

 4.4.1定积分应用疑难解析

 4.4.2定积分应用考点分析

 4.4.3定积分应用考题选讲(几何应用)

 4.4.4定积分应用考题选讲(物理应用)

 单元测试

 单元作业

第五单元 反常积分

 5.1.1反常积分的定义

 5.1.2无穷积分的性质

 5.2.1非负函数无穷积分的收敛性判别法

 5.2.2一般函数无穷积分的判别法

 5.3.1瑕积分的性质与收敛判别

 5.3.2瑕积分的性质与收敛判别例题

 5.4.1反常积分疑难解析

 5.4.2反常积分考点分析

 5.4.3反常积分考题选讲

 单元测试

 单元作业

第六单元 平面点集与多元函数

 6.1.1平面点集的基本概念

 6.1.2点和点集之间的关系

 6.2.1重要的平面点集

 6.2.2平面点集例题

 6.3.1平面点集的完备性定理(一)

 6.3.2平面点集的完备性定理(二)

 6.4.1平面点集基本概念疑难解析

 6.4.2平面点集基本概念考点分析

 6.4.3平面点集基本概念考题选讲 

 单元测试

 单元作业

第七单元 二元函数的极限

 7.1.1 多元函数

 7.1.2 重极限

 7.2.1 重极限的存在性判定

 7.2.2 累次极限概念

 7.3.1 累次极限的存在性

 7.4.1 多元函数极限疑难解析

 7.4.2 多元函数极限考点分析

 7.4.3 多元函数的极限考题选讲

 单元测试

 单元作业

第八单元 二元函数的连续性

 8.1.1 二元函数的连续性

 8.2.1 闭区域上连续函数的性质

 8.3.1 多元函数连续性例题选讲

 8.4.1 多元函数连续的疑难解析

 8.4.2 多元函数连续性考点分析

 8.4.3 多元函数连续性考题选讲

 单元测试

 单元作业



预备知识

具备《数学分析》(一)所要求的数学理论和方法。

证书要求

本课程的教学环节包含:

1、学生观看讲课视频;

2、完成每讲的随堂测验题;

3、完成单元测验题;

4、参与在线课程讨论;

5、完成在线作业;

6、参加期末考试。

 课程学习成绩由下列部分构成:

(1)每讲之后设计适量的随堂测验题,题型为选择题、计算填空题,检验学生对基本概念理解、基本计算技能的应用能力。所有随堂练习题分数占课程成绩的40%

(2)单元测验:在每一章学习结束后,将有一次单元测验,题型为选择题,判断题、计算题、主要巩固在线课程的学习效果,检验学生对基本概念、基本理论的理解。所有单元测验分数分数占课程成绩的20%

(3)每一节之后,将有一次在线作业,作业以主观题为主,包括计算题、证明题和论述题,用以加深对在线课堂教学中所学理论的理解、练习和实践在线课堂教学中所学到的分析技能,训练和提高分析问题、解决问题的能力。所有在线作业分数占课程成绩的10%

(4)每一单元设计1-2次在线讨论,目的在于加深和扩展在线课堂的教学内容深度和广度,营造在线网络教学互助、互学、互教的学习环境,激发学生的学习兴趣。所有在线讨论分数占课程成绩的10%

课程考试:课程结束后,学生可以参加课程的最后考试,成绩占20%

完成课程学习并考核合格(>=60)的可获得合格证书,成绩优秀(>80)的可获得优秀证书。(暂无,具体发放时间由爱课程中心确定)

参考资料

1.《微积分学教程(第八版)》 菲赫金哥尔茨 高等教育出版社 推荐理由: 数学分析经典权威教材, 论述严谨, 内容全面, 例题丰富, 对希望全面、深入掌握数学分析理论的学生是一本很好的参考书。 2. 《数学分析(第四版)》 华东师范大学数学系 高等教育出版社 推荐理由: 国内较有影响的数学分析教材,是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果,是面向21世纪课程教材,普通高等教育“九五”国家教委重点教材,该教材选材精练、内容适中、结构合理、 思路清晰、论述清楚,可读性强。 另外, 该教材的习题配置难易适中,紧密结合课程内容,能够帮助学生进一步理解和掌握所学课程内容,而且附有答案,便于学生自学。 3.《数学分析讲义》 刘玉琏、傅沛仁、林玎、苑德馨、刘宁, 高等教育出版社 推荐理由: 本书阐述细致,引进概念注意讲清实际背景,定理证明、公式推演作了必要的分析,通俗易懂,便于自学。 4.《数学分析》 北大数学系方企勤、沈燮昌、廖可人等 高等教育出版社 推荐理由: 本书论述细致,引进概念注意讲清实际背景,定理证明、公式推演作了必要的分析,并提出一些值得思考的问题;通过大量不同类型例题,介绍解题基本方法和特殊技巧。全书还配有习题集一册,其中有不少有一定难度、技巧性较高的习题,对于培养分析问题、解决问题、进一步提高数学分析素养有很好的作用。 5. 《数学分析中的典型问题与方法》 裴礼文 高等教育出版社 推荐理由: 书中系统地汇集了数学分析中各个部分的一些典型例题和习题,并着重于分析解题的思路和方法,同时选用了大量研究生入学试题、国外高校竞赛试题,并进行分析讲解。书中题目具有很强的典型性、灵活性、启发性、趣味性和综合性,对于加深数学分析思想方法的理解、提高分析能力和数学素养非常有益。 6. 《数学分析(第一卷、第二卷)》 B.A.卓里奇著, 蒋铎、王昆扬、周美柯、等译 高等教育出版社 推荐理由: 本书在内容方面注重与其平行的以及后继的分析、代数、几何方面的现代数学课程之间的联系,重点讨论一般数学中最有本质意义的那些基本概念和方法,在保持数学一般理论叙述严谨性的同时,也充分体现其自然科学的源泉和应用, 可供较为优秀学生选读。7. 《数学分析学习指导书》吴良森、毛羽辉、韩士安、吴畏 编著,高等教育出版社。 8. 《数学分析解题精粹》钱吉林 等主编,崇文书局。《数学分析解题精讲》徐新亚 主编,同济大学出版社。

常见问题

问题:如何顺利学好《数学分析》(二)?

《数学分析》课程前后内容联系非常紧密,在《数学分析》(二)学习过程中遇到困难,很大程度上需要求助于《数学分析》(一)的知识和技能,我们《数学分析》(一)现在正在同步开放,同学们可以结合着《数学分析》(一)一起学习,以便取得更好的学习效果。