数学分析(三)
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课程评价
spContent=《数学分析》是数学专业最重要的专业基础课,开设周期长,知识含量多,技能要求高,内容丰富,体系严密,是所有后继课程学习的基础,是数学专业研究生入学考试必考课。既是连接初等数学与现代数学的桥梁,又是现代数学的基础,在培养数学人才、科技人才以及高质素数学教师等方面作用重大。
—— 课程团队
课程概述


“数学分析”是一门超大规模的课程,又是数学学习的基础课程,内容涵盖实数理论、极限与连续、导数与微分、积分、无穷级数、多元函数微分、含参量积分、曲线曲面积分、重积分、曲面积分等众多内容,学完整个课程一般需要三个学期。为了便于学习者学习,我们将“数学分析”分为数学分析(一)“数学分析(二)”“数学分析(三)”和“数学分析(四)4个板块进行。每个板块的学习时间大约8-10周。

“数学分析(三)”的教学内容包括:多元函数的微分学、隐函数定理与应用、重积分、曲线积分课程目标是通过系统学习和相关的数学训练,使学生逐步提高数学修养和数学学习能力,掌握数学的基本思想方法,打好理论基础为后继学习做准备,最终使学生的数学思维能力得到根本的提高。

       本课程的教学内容安排主要参照华东师大数学系编写的《数学分析》教材,配合其他通用数学分析教材,并对教学内容进行适当调整。课程适合数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、金融学、管理与运筹、理工科中对数学有较高要求专业的学生,以及数学爱好者作为数学基础课学习。

授课目标

课程目标是通过系统学习,接受系统的数学训练,使学生逐步提高数学修养和数学学习能力,特别是分析的修养,掌握数学的基本思想方法,积累从事进一步学习所需要的数学知识,打好理论基础为后继学习做准备; 最终使学生的数学思维能力得到根本的提高。

课程大纲



《数学分析》(三)授课大纲




第一单元:多元函数的可微性与计算方法


1.1.1可微性与全微分 

1.1.2 偏导数

1.1.3 可微性条件

1.1.4 可微性的几何意义

1.2.1 复合函数的求导法则

1.2.2复合函数的求导例题

1.3.1复合函数的全微分与应用

1.3.2方向导数与梯度

1.4.1 疑难解析

1.4.2 考点分析

1.4.3 考题选讲



第二单元:多元函数的微分与极值问题


2.1.1 高阶偏导数

2.1.2 高阶偏导数求导顺序无关条件

2.1.3 复合函数的高阶偏导数

2.2.1 多元函数的中值定理

2.2.2 多元函数的泰勒公式

2.3.1 多元函数的极值问题

2.3.2 多元函数极值问题例题

2.4.1  疑难解析

2.4.2 考点分析

2.4.3 考题选讲


第三单元:隐函数定理  


  3.1.1 隐函数条件分析 

  3.1.2 隐函数定理的证明

  3.1.3 隐函数可微性定理

  3.1.4 隐函数求导例题

  3.2.1 隐函数组定理

  3.2.2 隐函数组定理例题

  3.2.3 反函数组与坐标变换

  3.3.1 几何应用(一)

  3.3.2 几何应用(二)

  3.3.3 几何应用(三)

  3.4.1 拉格朗日乘数法

  3.4.2 应用举例 (一)

  3.4.3 应用举例(二)

  3.5.1 疑难解析

  3.5.2 考点综述

  3.5.3 考题选讲(一)

  3.5.4 考题选讲(二)


第四单元: 二重积分


   4.1.1 平面图形的面积

  4.1.2 二重积分的定义

   4.1.3 二重积分的性质

   4.2.1 矩形区域上二重积分计算

   4.2.2 x 型或 y 型区域上二重积分计算

   4.2.3 一般区域上二重积分的计算

   4.3.1 变量替换公式

   4.3.3 极坐标变换例题与广义极坐标变换

   4.4.1 二重积分疑惑解析

   4.4.2 二重积分要点分析

   4.4.3 二重积分考题选讲



第五单元:三重积分  


   5.1.1 三重积分的概念

 5.2.1 化三重积分为累次积分例题与三重积分换元法

 5.2.2 球坐标变换

 5.3.1 曲面的面积

 5.3.2 物理应用

 5.4.1 疑惑解析

 5.4.2 范例解析

 5.4.3 考题选讲

 


第六单元: 反常重积分


6.1.1 n重积分的定义与计算(一)

6.1.2 n重积分的计算(二)

6.2.1 反常二重积分的概念

6.2.2 反常二重积分收敛充要条件

6.3.1 疑惑解析

6.3.2 考点分析

6.3.3 考题选讲



第七单元: 曲线积分    


7.1.1 第一型曲线积分的概念

7.1.2第一型曲线积分的计算

7.2.1 第二型曲线积分的概念

7.2.2 第二型曲线积分的计算.

7.3.1 格林公式

7.3.2 曲线积分与路线的无关性

7.3.3 曲线积分与路线的无关性例题

7.4.1 疑惑解析

7.4.2 考点分析

7.4.3 考题选讲







预备知识

具备本在线课程《数学分析》(一)和  《数学分析》(二)所要求的数学知识和技能。

证书要求


本课程的教学环节包含:

1、学生观看讲课视频;

2、完成每讲的随堂测验题;

3、完成单元测验题;

4、参与在线课程讨论;

5、完成在线作业;

6、参加期末考试。

 课程学习成绩由下列部分构成:

(1)每讲之后设计适量的随堂测验题,题型为选择题、计算填空题,检验学生对基本概念理解、基本计算技能的应用能力。所有随堂练习题分数占课程成绩的20%

(2)单元测验:在每一章学习结束后,将有一次单元测验,题型为选择题,判断题、计算题、主要巩固在线课程的学习效果,检验学生对基本概念、基本理论的理解。所有单元测验分数分数占课程成绩的10%

(3)每一节之后,将有一次在线作业,作业以主观题为主,包括计算题、证明题和论述题,用以加深对在线课堂教学中所学理论的理解、练习和实践在线课堂教学中所学到的分析技能,训练和提高分析问题、解决问题的能力。所有在线作业分数占课程成绩的10%

(4)每一节设计1-2次在线讨论,目的在于加深和扩展在线课堂的教学内容深度和广度,营造在线网络教学互助、互学、互教的学习环境,激发学生的学习兴趣。所有在线讨论分数占课程成绩的20%

课程考试:课程结束后,学生可以参加课程的最后考试,成绩占40%

完成课程学习并考核合格(>=60)的可获得合格证书,成绩优秀(>80)的可获得优秀证书。(暂无,具体发放时间由爱课程中心确定)

参考资料

1.《微积分学教程(第八版)》 菲赫金哥尔茨 高等教育出版社 推荐理由: 数学分析经典权威教材, 论述严谨, 内容全面, 例题丰富, 对希望全面、深入掌握数学分析理论的学生是一本很好的参考书。 2. 《数学分析(第四版)》 华东师范大学数学系 高等教育出版社 推荐理由: 国内较有影响的数学分析教材,是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果,是面向21世纪课程教材,普通高等教育“九五”国家教委重点教材,该教材选材精练、内容适中、结构合理、 思路清晰、论述清楚,可读性强。 另外, 该教材的习题配置难易适中,紧密结合课程内容,能够帮助学生进一步理解和掌握所学课程内容,而且附有答案,便于学生自学。 3.《数学分析讲义》 刘玉琏、傅沛仁、林玎、苑德馨、刘宁, 高等教育出版社 推荐理由: 本书阐述细致,引进概念注意讲清实际背景,定理证明、公式推演作了必要的分析,通俗易懂,便于自学。 4.《数学分析》 北大数学系方企勤、沈燮昌、廖可人等 高等教育出版社 推荐理由: 本书论述细致,引进概念注意讲清实际背景,定理证明、公式推演作了必要的分析,并提出一些值得思考的问题;通过大量不同类型例题,介绍解题基本方法和特殊技巧。全书还配有习题集一册,其中有不少有一定难度、技巧性较高的习题,对于培养分析问题、解决问题、进一步提高数学分析素养有很好的作用。 5. 《数学分析中的典型问题与方法》 裴礼文 高等教育出版社 推荐理由: 书中系统地汇集了数学分析中各个部分的一些典型例题和习题,并着重于分析解题的思路和方法,同时选用了大量研究生入学试题、国外高校竞赛试题,并进行分析讲解。书中题目具有很强的典型性、灵活性、启发性、趣味性和综合性,对于加深数学分析思想方法的理解、提高分析能力和数学素养非常有益。 6. 《数学分析(第一卷、第二卷)》 B.A.卓里奇著, 蒋铎、王昆扬、周美柯、等译 高等教育出版社 推荐理由: 本书在内容方面注重与其平行的以及后继的分析、代数、几何方面的现代数学课程之间的联系,重点讨论一般数学中最有本质意义的那些基本概念和方法,在保持数学一般理论叙述严谨性的同时,也充分体现其自然科学的源泉和应用, 可供较为优秀学生选读。7. 《数学分析学习指导书》吴良森、毛羽辉、韩士安、吴畏 编著,高等教育出版社。 8. 《数学分析解题精粹》钱吉林 等主编,崇文书局。

常见问题

学习过程中需要注意的问题:

1、《数学分析》课程抽象度高,逻辑性强,对初学者来说有一定难度,所以学习过程中要仔细体会视频中的讲解,可以通过必要的记录,调整视频播放速度等方式促进对教学内容的理解。注意在观看视频时,有多种播放速度可供选择,可选择适合你自己的播放速度。

2、大学学习不同于中学的学习,要特别注意学习的连贯性、逻辑推理的严密性,关注定理的证明过程,例题的解题方法,学会逻辑推理,用准确、精炼的的数学语言呈现证明过程。