数学分析(一)
分享
课程详情
课程评价
spContent=《数学分析》是数学专业最重要的专业基础课,开设周期长,知识含量多,技能要求高,内容丰富,体系严密,是所有后继课程学习的基础,是数学专业研究生入学考试必考课程。既是连接初等数学与现代数学的桥梁,又是现代数学的基础,本课程包含基本理论、方法、疑难问题解析、考研要点综述和考研真题选讲。
—— 课程团队
课程概述

“数学分析”是一门超大规模的课程,又是数学学习的基础课程,内容涵盖实数理论、极限与连续、导数与微分、积分、无穷级数、多元函数微分、含参量积分、曲线曲面积分、重积分、曲面积分等众多内容,学完整个课程一般需要三个学期。为了便于学习者学习,我们将“数学分析”分为数学分析(一)“数学分析(二)”“数学分析(三)”数学分析(四)4个板块进行。每个板块的学习时间大约8-10周。 

“数学分析(一)”的教学内容包括:实数理论、数列极限、函数极限、连续、一元函数的导数与微分。“数学分析(二)”的教学内容包括:实数的完备性、一元函数的积分学、平面点集理论、多元函数的极限与连续。“数学分析(三)”的教学内容包括:多元函数的微分学、隐函数定理与应用、重积分、曲线积分。“数学分析(四)”的教学内容包括:曲面积分和含参量积分、场论、级数理论。课程目标是通过系统学习和相关的数学训练,使学生逐步提高数学修养和数学学习能力,掌握数学的基本思想方法,打好理论基础为后继学习做准备,最终使学生的数学思维能力得到根本的提高。

       本课程的教学内容安排主要参照华东师大数学系编写的《数学分析》教材,配合其他通用数学分析教材,并对教学内容进行适当调整。课程适合数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、金融学、管理与运筹、理工科中对数学有较高要求专业的学生,以及数学爱好者作为数学基础课学习。


授课目标

课程目标是通过精讲数学分析基本理论、基本方法,分析疑难问题和考研要点,精选细讲考研真题和经典例题,帮助同学们尽快提升数学修养、分析问题和解决问题的能力,掌握数学分析的基本思想方法和基本技能,高质量的学好数学分析这门至关重要的专业基础课程,为进一步数学学习和研究打下坚实的理论基础。

课程大纲

数学分析(一)授课大纲



第一单元:数学分析产生的实际背景与预备知识

   

   1数学分析产生的实际背景


2 数学分析研究的空间准备实数的基本理论


3 数学分析研究的对象函数及其相关性质


4 实数与函数疑难解析及考点分析


第二单元:函数极限(数学分析的研究方法)


1 函数极限的定义与性质


2 如何理解无穷小量与无穷大量?


   3 函数极限的计算方法与判定方法


   4 函数极限的疑难解析与考点分析


第三单元:数列极限  


  1 数列极限的定义与基本性质


  2 数列极限与函数极限的关系


  3 数列极限的计算方法与判定方法


  4 数列极限疑难解析与考点分析


第四单元: 函数的连续性


   1如何理解函数的连续概念与性质


   2函数连续性的判定方法


   3闭区间上连续函数的性质与证明方法


   4连续函数的疑难解析与考点分析


第五单元: 一元函数的微分学 


1导数、微分的定义及基本性质


      2 导数与微分的计算方法:  如何求反函数、复合函数的导数与微分


      3 参变量函数的导数、 高阶导数与微分的计算方法


4 导数与微分的疑难解析与考点分析


第六单元 微分中值定理 


1微分中值定理的理解与证明


2 微分中值定理的应用--如何用导函数的性质研究原函数的性质


3 微分中值定理的应用方法和技巧


4 微分中值定理的的疑难解析与考点分析


第七单元: 泰勒公式    


1泰勒公式的特征分析与求法


2 泰勒公式的证明


3 泰勒公式的相关论证方法与技巧


4 泰勒公式的疑难解析与考点分析


第八单元: 函数极值与凸性分析   


1 函数极值的判定与求法


2 凸函数的性质与判定


3 凸函数的相关论证方法与技巧


4 凸函数的疑难解析与考点分析


 


 


预备知识

具备高中毕业所要求的数学知识。


证书要求

证书暂无要求

参考资料

1.《微积分学教程(第八版)》 菲赫金哥尔茨 高等教育出版社 推荐理由: 数学分析经典权威教材, 论述严谨, 内容全面, 例题丰富, 对希望全面、深入掌握数学分析理论的学生是一本很好的参考书。 2. 《数学分析(第四版)》 华东师范大学数学系 高等教育出版社 推荐理由: 国内较有影响的数学分析教材,是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果,是面向21世纪课程教材,普通高等教育“九五”国家教委重点教材,该教材选材精练、内容适中、结构合理、 思路清晰、论述清楚,可读性强。 另外, 该教材的习题配置难易适中,紧密结合课程内容,能够帮助学生进一步理解和掌握所学课程内容,而且附有答案,便于学生自学。 3.《数学分析讲义》 刘玉琏、傅沛仁、林玎、苑德馨、刘宁, 高等教育出版社 推荐理由: 本书阐述细致,引进概念注意讲清实际背景,定理证明、公式推演作了必要的分析,通俗易懂,便于自学。 4.《数学分析》 北大数学系方企勤、沈燮昌、廖可人等 高等教育出版社 推荐理由: 本书论述细致,引进概念注意讲清实际背景,定理证明、公式推演作了必要的分析,并提出一些值得思考的问题;通过大量不同类型例题,介绍解题基本方法和特殊技巧。全书还配有习题集一册,其中有不少有一定难度、技巧性较高的习题,对于培养分析问题、解决问题、进一步提高数学分析素养有很好的作用。 5. 《数学分析中的典型问题与方法》 裴礼文 高等教育出版社 推荐理由: 书中系统地汇集了数学分析中各个部分的一些典型例题和习题,并着重于分析解题的思路和方法,同时选用了大量研究生入学试题、国外高校竞赛试题,并进行分析讲解。书中题目具有很强的典型性、灵活性、启发性、趣味性和综合性,对于加深数学分析思想方法的理解、提高分析能力和数学素养非常有益。 6. 《数学分析(第一卷、第二卷)》 B.A.卓里奇著, 蒋铎、王昆扬、周美柯、等译 高等教育出版社 推荐理由: 本书在内容方面注重与其平行的以及后继的分析、代数、几何方面的现代数学课程之间的联系,重点讨论一般数学中最有本质意义的那些基本概念和方法,在保持数学一般理论叙述严谨性的同时,也充分体现其自然科学的源泉和应用, 可供较为优秀学生选读。7. 《数学分析学习指导书》吴良森、毛羽辉、韩士安、吴畏 编著,高等教育出版社。 8. 《数学分析解题精粹》钱吉林 等主编,崇文书局。《数学分析解题精讲》徐新亚 主编,同济大学出版社。

常见问题

学习过程中需要注意的问题:

1、《数学分析》课程抽象度高,逻辑性强,对初学者来说有一定难度,但是又是必学课程,所以学习过程中要仔细体会视频中的讲解,可以通过必要的记录,调整视频播放速度等方式促进对教学内容的理解。

2、大学学习不同于中学的学习,要特别注意学习的连贯性、逻辑推理的严密性,关注定理的证明过程,例题的解题方法,学会逻辑推理,用准确、精炼的的数学语言呈现证明过程。