数学分析(一)
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spContent=《数学分析》是数学专业最重要的专业基础课,开设周期长,知识含量多,技能要求高,内容丰富,体系严密,是所有后继课程学习的基础,是数学专业研究生入学考试必考课程。既是连接初等数学与现代数学的桥梁,又是现代数学的基础,本课程包含基本理论、方法、疑难问题解析、考研要点综述和考研真题选讲。
—— 课程团队
课程概述

“数学分析”是一门超大规模的课程,又是数学学习的基础课程,内容涵盖实数理论、极限与连续、导数与微分、积分、无穷级数、多元函数微分、含参量积分、曲线曲面积分、重积分、曲面积分等众多内容,学完整个课程一般需要三个学期。为了便于学习者学习,我们将“数学分析”分为数学分析(一)“数学分析(二)”“数学分析(三)”数学分析(四)4个板块进行。每个板块的学习时间大约8-10周。 

“数学分析(一)”的教学内容包括:实数理论、数列极限、函数极限、连续、一元函数的导数与微分。

       本课程的教学内容安排主要参照华东师大数学系编写的《数学分析》教材,配合其他通用数学分析教材,并对教学内容进行适当调整。课程适合数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、金融学、管理与运筹、理工科中对数学有较高要求专业的学生,以及数学爱好者作为数学基础课学习。


授课目标

课程目标是通过精讲数学分析基本理论、基本方法,分析疑难问题和考研要点,精选细讲考研真题和经典例题,帮助同学们尽快提升数学修养、分析问题和解决问题的能力,掌握数学分析的基本思想方法和基本技能,高质量的学好数学分析这门至关重要的专业基础课程,为进一步数学学习和研究打下坚实的理论基础。

课程大纲


第一单元 :数学分析产生的实际背景与预备知识

1.1.1数学分析产生的背景

1.2.1 实数的基本理论

1.3.1函数相关概念运算;

1.3.2函数的相关性质

1.4.1实数基本理论与函数疑难解析;

1.4.2实数基本理论与函数考点分析;

1.4.3实数基本理论与函数考题选讲

单元测试

单元作业

第二单元: 函数极限的性质与计算方法

2.1.1x趋于无穷时的函数极限;

2.1.2x趋于x-0时的函数极限定义;

2.1.3函数极限的性质;

2.1.4 单调有界定理;

2.2.1无穷小量的定义;

2.2.2无穷小量阶的比较

2.3.1两个重要的函数极限;

2.3.2函数极限的判定方法;

2.3.3渐近线

2.4.1函数极限疑难解析;

2.4.2函数极限考点分析;

2.4.3函数极限考题选讲

单元测试

单元作业

第三单元: 数列极限

3.1.1数列收敛的定义;

3.1.2 收敛数列的性质

3.2.1数列的单调有界定理;

3.2.2数列的柯西收敛准则

3.3.1 数列收敛的例题;

3.3.2 函数极限的归结原则

3.4.1数列极限疑难解析与考点分析;

3.4.2数列极限考题选讲

单元测验

单元作业

第四单元: 函数的连续性

4.1.1函数在一点的连续性;

4.1.2连续函数的局部性质;

4.1.3间断点的分类

4.2.1闭区间上连续函数的最大最小值定理;

4.2.2连续函数的介值性

4.3.1一致连续性;

4.3.2反函数及初等函数的连续性

4.4.1连续函数疑难解析;

4.4.2连续函数考点分析;

4.4.3连续函数考题选讲

单元测验

单元作业

第五单元: 一元函数的微分学

5.1.1导数与微分的定义;

5.1.2导数与微分的运算规则

5.2.1导数的计算方法;

5.2.2导数的计算方法2

5.3.1参变量函数的导数;

5.3.2高阶导数与高阶微分;

5.3.3高阶导数与高阶微分的计算

5.4.1导数与微分疑难解析;

5.4.2导数与微分考点分析;

5.4.3导数与微分考题选讲

单元作业

单元测试

第六单元: 微分中值定理

6.1.1费马定理与罗尔中值定理;

6.1.2罗尔中值定理条件分析

6.2.1拉格朗日中值定理;

6.2.2拉格朗日中值定理的推论与函数单调性

6.3.1柯西中值定理与不定式的极限;

6.3.2其他类型的不定式极限

6.4.1微分中值定理疑难解析;

6.4.2微分中值定理考点分析;

6.4.3微分中值定理考题选讲

单元测验

单元作业

第七单元: 泰勒公式

7.1.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式;

7.1.2基本初等函数的泰勒公式

7.2.1带有拉格朗日型余项的泰勒公式;

7.2.2泰勒公式在近似计算中的应用

7.3.1泰勒公式疑难解析与考点分析

7.4.1泰勒公式考题选讲

单元作业

单元测验

第八单元: 函数极值与凸性分析

8.1.1极值的判定;

8.1.2极值判定例题

8.2.1凸性概念

8.3.1凸函数的判定;

8.3.2凸函数的性质

8.4.1凸函数疑难解析;

8.4.2凸函数考点分析;

8.4.3凸函数考题选讲

单元作业

单元测试

第九单元 极限综合解题方法

9.1 9.1  极限综合解题方法(一);

9.2 9.1  极限综合解题方法(二);

9.3  Stolz定理

9.4  极限综合解题方法三及Stolz定理求极限

9.5  极限综合解题方法四

第十单元 导数与微分计算综合解题方法

10.1 导数与微分解题方法(一);

10.2 导数与微分解题方法(二)

10.3 导数与微分解题方法(三);

10.4 导数与微分解题方法(四);

10.5 导数与微分解题方法(五)

预备知识

具备高中毕业所要求的数学知识。


证书要求

观看所有的教学视频,积极参与本课程的各项网上活动,并通过考试。

参考资料

1.《微积分学教程(第八版)》 菲赫金哥尔茨 高等教育出版社 推荐理由: 数学分析经典权威教材, 论述严谨, 内容全面, 例题丰富, 对希望全面、深入掌握数学分析理论的学生是一本很好的参考书。 2. 《数学分析(第四版)》 华东师范大学数学系 高等教育出版社 推荐理由: 国内较有影响的数学分析教材,是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果,是面向21世纪课程教材,普通高等教育“九五”国家教委重点教材,该教材选材精练、内容适中、结构合理、 思路清晰、论述清楚,可读性强。 另外, 该教材的习题配置难易适中,紧密结合课程内容,能够帮助学生进一步理解和掌握所学课程内容,而且附有答案,便于学生自学。 3.《数学分析讲义》 刘玉琏、傅沛仁、林玎、苑德馨、刘宁, 高等教育出版社 推荐理由: 本书阐述细致,引进概念注意讲清实际背景,定理证明、公式推演作了必要的分析,通俗易懂,便于自学。 4.《数学分析》 北大数学系方企勤、沈燮昌、廖可人等 高等教育出版社 推荐理由: 本书论述细致,引进概念注意讲清实际背景,定理证明、公式推演作了必要的分析,并提出一些值得思考的问题;通过大量不同类型例题,介绍解题基本方法和特殊技巧。全书还配有习题集一册,其中有不少有一定难度、技巧性较高的习题,对于培养分析问题、解决问题、进一步提高数学分析素养有很好的作用。 5. 《数学分析中的典型问题与方法》 裴礼文 高等教育出版社 推荐理由: 书中系统地汇集了数学分析中各个部分的一些典型例题和习题,并着重于分析解题的思路和方法,同时选用了大量研究生入学试题、国外高校竞赛试题,并进行分析讲解。书中题目具有很强的典型性、灵活性、启发性、趣味性和综合性,对于加深数学分析思想方法的理解、提高分析能力和数学素养非常有益。 6. 《数学分析(第一卷、第二卷)》 B.A.卓里奇著, 蒋铎、王昆扬、周美柯、等译 高等教育出版社 推荐理由: 本书在内容方面注重与其平行的以及后继的分析、代数、几何方面的现代数学课程之间的联系,重点讨论一般数学中最有本质意义的那些基本概念和方法,在保持数学一般理论叙述严谨性的同时,也充分体现其自然科学的源泉和应用, 可供较为优秀学生选读。7. 《数学分析学习指导书》吴良森、毛羽辉、韩士安、吴畏 编著,高等教育出版社。 8. 《数学分析解题精粹》钱吉林 等主编,崇文书局。《数学分析解题精讲》徐新亚 主编,同济大学出版社。

常见问题

学习过程中需要注意的问题:

1、《数学分析》课程抽象度高,逻辑性强,对初学者来说有一定难度,但是又是必学课程,所以学习过程中要仔细体会视频中的讲解,可以通过必要的记录,调整视频播放速度等方式促进对教学内容的理解。

2、大学学习不同于中学的学习,要特别注意学习的连贯性、逻辑推理的严密性,关注定理的证明过程,例题的解题方法,学会逻辑推理,用准确、精炼的的数学语言呈现证明过程。