数学分析(一)
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spContent=《数学分析》是数学专业最重要的专业基础课,开设周期长,知识含量多,技能要求高,内容丰富,体系严密,是所有后继课程学习的基础,是数学专业研究生入学考试必考课程。既是连接初等数学与现代数学的桥梁,又是现代数学的基础,本课程包含基本理论、方法、疑难问题解析、考研要点综述和考研真题选讲。
—— 课程团队
课程概述

“数学分析”是一门超大规模的课程,又是数学学习的基础课程,内容涵盖实数理论、极限与连续、导数与微分、积分、无穷级数、多元函数微分、含参量积分、曲线曲面积分、重积分、曲面积分等众多内容,学完整个课程一般需要三个学期。为了便于学习者学习,我们将“数学分析”分为数学分析(一)“数学分析(二)”“数学分析(三)”数学分析(四)4个板块进行。每个板块的学习时间大约8-10周。 

“数学分析(一)”的教学内容包括:实数理论、数列极限、函数极限、连续、一元函数的导数与微分。

       本课程的教学内容安排主要参照华东师大数学系编写的《数学分析》教材,配合其他通用数学分析教材,并对教学内容进行适当调整。课程适合数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、金融学、管理与运筹、理工科中对数学有较高要求专业的学生,以及数学爱好者作为数学基础课学习。


授课目标

课程目标是通过精讲数学分析基本理论、基本方法,分析疑难问题和考研要点,精选细讲考研真题和经典例题,帮助同学们尽快提升数学修养、分析问题和解决问题的能力,掌握数学分析的基本思想方法和基本技能,高质量的学好数学分析这门至关重要的专业基础课程,为进一步数学学习和研究打下坚实的理论基础。

课程大纲

第一单元 :数学分析产生的实际背景与预备知识

1.1.1数学分析产生的背景

1.2.1 实数的基本理论

1.3.1函数相关概念运算

1.3.2函数的相关性质

1.4.1实数基本理论与函数的疑难解析

1.4.2实数基本理论与函数考点分析

1.4.3实数基本理论与函数考题选讲

单元测试

单元作业

第一单元讨论题

第二单元: 函数极限的性质与计算方法

2.1.1x趋于无穷时的函数极限

2.1.2x趋于x-0时的函数极限定义

2.1.3函数极限的性质

2.1.4 单调有界定理

2.2.1无穷小量的定义

2.2.2无穷小量阶的比较

2.3.1两个重要的函数极限

2.3.2函数极限的判定方法

2.3.3渐近线

2.4.1函数极限疑难解析

2.4.2函数极限考点分析

2.4.3函数极限考题选讲

第二单元讨论题

单元测试

单元作业

第三单元: 数列极限

3.1.1数列收敛的定义

3.1.2 收敛数列的性质

3.2.1数列的单调有界定理

3.2.2数列的柯西收敛准则

3.3.1 数列收敛的例题

3.3.2 函数极限的归结原则

3.4.1数列极限疑难解析与考点分析

3.4.2数列极限考题选讲

第三单元讨论题

单元作业

单元测验

第四单元: 函数的连续性

4.1.1函数在一点的连续性

4.1.2连续函数的局部性质

4.1.3间断点的分类

4.2.1闭区间上连续函数的最大最小值定理

4.2.2连续函数的介值性

4.3.1一致连续性

4.3.2反函数及初等函数的连续性

4.4.1连续函数疑难解析

4.4.2连续函数考点分析

4.4.3连续函数考题选讲

单元作业

第四单元讨论题

单元测验

第五单元: 一元函数的微分学

5.1.1导数与微分的定义

5.1.2导数与微分的运算规则

5.2.1导数的计算方法

5.2.2导数的计算方法2

5.3.1参变量函数的导数

5.3.2高阶导数与高阶微分

5.3.3高阶导数与高阶微分的计算

5.4.1导数与微分疑难解析

5.4.2导数与微分考点分析

5.4.3导数与微分考题选讲

第五单元讨论题

单元测试

单元作业

第六单元: 微分中值定理

6.1.1费马定理与罗尔中值定理

6.1.2罗尔中值定理条件分析

6.2.1拉格朗日中值定理

6.2.2拉格朗日中值定理的推论与函数单调性

6.3.1柯西中值定理与不定式的极限

6.3.2其他类型的不定式极限

6.4.1微分中值定理疑难解析

6.4.2微分中值定理考点分析

6.4.3微分中值定理考题选讲

第六单元讨论题

单元测验

单元作业

第七单元: 泰勒公式

7.1.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式

7.1.2基本初等函数的泰勒公式

7.2.1带有拉格朗日型余项的泰勒公式

7.2.2泰勒公式在近似计算中的应用

7.3.1泰勒公式疑难解析与考点分析

7.4.1泰勒公式考题选讲

第七单元讨论题

单元作业

单元测验

第八单元: 函数极值与凸性分析

第八单元讨论题

8.1.1极值的判定

8.1.2极值判定例题

8.2.1凸性概念

8.3.1凸函数的判定

8.3.2凸函数的性质

8.4.1凸函数疑难解析

8.4.2凸函数考点分析

8.4.3凸函数考题选讲

单元作业

单元测试

第九单元 极限综合解题方法

9.1 极限综合解题方法一

9.2  极限综合解题方法二

9.3  Stolz定理

9.4  极限综合解题方法三及Stolz定理求极限

9.5 极限综合解题方法四

第十单元 导数与微分综合解题方法

10.1 导数与微分解题方法(一)

10.2 导数与微分解题方法(二)

10.3 导数与微分解题方法(三)

10.4 导数与微分解题方法(四)

10.5 导数与微分解题方法(五)

预备知识

具备高中毕业所要求的数学知识。


证书要求

观看所有的教学视频,积极参与本课程的各项网上活动,并通过考试。

参考资料

1.《微积分学教程(第八版)》 菲赫金哥尔茨 高等教育出版社 推荐理由: 数学分析经典权威教材, 论述严谨, 内容全面, 例题丰富, 对希望全面、深入掌握数学分析理论的学生是一本很好的参考书。 2. 《数学分析(第四版)》 华东师范大学数学系 高等教育出版社 推荐理由: 国内较有影响的数学分析教材,是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果,是面向21世纪课程教材,普通高等教育“九五”国家教委重点教材,该教材选材精练、内容适中、结构合理、 思路清晰、论述清楚,可读性强。 另外, 该教材的习题配置难易适中,紧密结合课程内容,能够帮助学生进一步理解和掌握所学课程内容,而且附有答案,便于学生自学。 3.《数学分析讲义》 刘玉琏、傅沛仁、林玎、苑德馨、刘宁, 高等教育出版社 推荐理由: 本书阐述细致,引进概念注意讲清实际背景,定理证明、公式推演作了必要的分析,通俗易懂,便于自学。 4.《数学分析》 北大数学系方企勤、沈燮昌、廖可人等 高等教育出版社 推荐理由: 本书论述细致,引进概念注意讲清实际背景,定理证明、公式推演作了必要的分析,并提出一些值得思考的问题;通过大量不同类型例题,介绍解题基本方法和特殊技巧。全书还配有习题集一册,其中有不少有一定难度、技巧性较高的习题,对于培养分析问题、解决问题、进一步提高数学分析素养有很好的作用。 5. 《数学分析中的典型问题与方法》 裴礼文 高等教育出版社 推荐理由: 书中系统地汇集了数学分析中各个部分的一些典型例题和习题,并着重于分析解题的思路和方法,同时选用了大量研究生入学试题、国外高校竞赛试题,并进行分析讲解。书中题目具有很强的典型性、灵活性、启发性、趣味性和综合性,对于加深数学分析思想方法的理解、提高分析能力和数学素养非常有益。 6. 《数学分析(第一卷、第二卷)》 B.A.卓里奇著, 蒋铎、王昆扬、周美柯、等译 高等教育出版社 推荐理由: 本书在内容方面注重与其平行的以及后继的分析、代数、几何方面的现代数学课程之间的联系,重点讨论一般数学中最有本质意义的那些基本概念和方法,在保持数学一般理论叙述严谨性的同时,也充分体现其自然科学的源泉和应用, 可供较为优秀学生选读。7. 《数学分析学习指导书》吴良森、毛羽辉、韩士安、吴畏 编著,高等教育出版社。 8. 《数学分析解题精粹》钱吉林 等主编,崇文书局。《数学分析解题精讲》徐新亚 主编,同济大学出版社。

常见问题

学习过程中需要注意的问题:

1、《数学分析》课程抽象度高,逻辑性强,对初学者来说有一定难度,但是又是必学课程,所以学习过程中要仔细体会视频中的讲解,可以通过必要的记录,调整视频播放速度等方式促进对教学内容的理解。

2、大学学习不同于中学的学习,要特别注意学习的连贯性、逻辑推理的严密性,关注定理的证明过程,例题的解题方法,学会逻辑推理,用准确、精炼的的数学语言呈现证明过程。