信阳师范学院

大学文科数学

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课程概述

伟大的数学家伽利略曾经说过:“自然这本书,是用数学语言写成的.”数学王子高斯更加直白的说:“数学是科学之王”。我国数学家华罗庚对数学也有过精彩的描述:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,数学无处不在。”

数学是研究客观世界和空间形式的科学.数学既是工具又是思维模式;既是知识又是素养;既是科学又是文化.数学素养、数学文化以及逻辑思维能力是现代大学生应具备的基本素质。

在大学文科专业中,大多数学生不喜欢数学.这或许是由于数学教学总是循着定义、定理、证明或计算这样一种教学思路,使数学教学变成了解题教学,甚至成为解难题的教学.文科生从中学开始就对这样一种死板的教学失去了兴趣,从而对数学产生了畏惧、甚至厌恶的情绪.对于大多数普通高等院校文科生,迫切需要一门能够重新激发他们对数学学习兴趣的文科数学课程,使他们能在快乐的学习中提高数学文化素养、提升理性思维能力. 

本课程在深入浅出地介绍数学知识的同时,重视展现博大精深的数学文化,展示高度抽象的数学符号所蕴含的丰富哲理,从而提高学生的直觉感知能力、观察分析能力、归纳推理能力、抽象概括能力等.在这里,让我们一起领略数学的奥秘之处,一起开始愉快的数学之旅。 


授课目标
了解现代数学的研究对象、研究方法和数学的思维方法,初步掌握现代数学的重要基础知识和基本方法,发展量化意识、提高量化能力; 体会数学的科学价值、应用价值和文化价值,领会数学的思想方法和数学精神的内涵,受到数学文化的熏陶,提高数学素养。
证书要求

总评成绩为百分制。课堂测试与作业占30%,论坛占10%,期末考试占60%。60分至84分为合格,85分至100分为优秀。

预备知识

高中数学

授课大纲

课程内容及学时分配: 

第1章  函数与极限(10学时)

本章要求在复习中学函数知识的基础上加深理解函数概念。在中学数列极限的基础上掌握函数极限的直观意义和运算法则,学会运用重要极限计算一些函数或数列的极限,理解无穷小量与无穷大量及其等价的意义,掌握运用无穷小量等价计算极限的方法,了解初等函数的连续性,初步了解极限概念的应用。

1掌握由已知函数产生新函数的方法——函数的四则运算、函数的复合、反函数,归纳出初等函数的概念;

2扩展对函数种种实例的认识,熟悉基本初等函数的图象;

3 结合图象 理解函数的四种性态:奇偶性、周期性、单调性、有界性。

4 数列的极限。数列的极限(数列收敛),数列发散。

5 函数极限的概念。函数在某个自变量变化过程中的极限,左极限,右极限。

6 极限运算的性质。

7 函数的连续性。函数在某点的连续性,左连续,右连续,函数在开区间连续,函数在闭区间连续。

8 两个重要极限。

9 无穷小量和无穷大量。无穷小量,无穷大量,有界变量与无穷小量之间的关系。

10 无穷小量的等价。无穷小量的等价,无穷小量的等价代换。

    

第2章   导数与微分(10学时)

本章要求深刻理解导数与微分的基本概念,学会运用求导法则熟练计算初等函数的导数与微分,并要求了解导数与微分在有关变化率实际问题中的初步应用。

1 曲线的切线斜率

2 导数的定义。自变量的改变量,函数的改变量,函数的差商(平均变化率),函数在某点可导。

3 变化率的问题。瞬时变化率,运动速度问题,经济学函数的边际值,经济学函数的边际函数。

4 微分的概念。微分,微分近似计算公式,可导与可微的关系。

5 导数与微分的四则运算。导数与微分的四则运算公式。

6 复合函数的导数与微分。复合函数的导数与微分的链锁法则。

7 基本初等函数的导数与微分公式。

8 导数的导数——二阶导数。二阶导数,高阶导数。


第3章  导数的应用(10学时)

本章学习导数的应用,要求掌握运用导数分析初等函数单调性与极值的方法,并会分析解决几何中简单的最值问题。

1 函数的单调性。函数单调性的判定方法。

2 函数达到极值的必要条件。极值,极值点,极大值,极大值点,极小值,极小值点,驻点,函数达到极值的必要条件。

3 函数达到极值的充分条件。函数达到极值的第一充分条件,函数达到极值的第二充分条件。

4 函数的最值。最大值,最小值,最值,最值点,最值的求解。

5 最值问题的应用举例。

6 洛必达法则。不定式的求法。


第4章   不定积分(8学时)

本章要求掌握原函数与不定积分概念,熟悉基本积分公式表,并会运用两种换元法与分部积分公式求解简单可积初等函数的积分。

1 原函数与不定积分的概念。原函数,不定积分,积分常数,积分法。

2 基本积分公式表。

3 不定积分的线性运算。

4 第一换元法(凑微分法)。

5 第二换元法。

6 分部积分公式。


第5章   定积分(10学时)

本章要求掌握定积分概念及与不定积分的关系——微积分基本定理,会用换元法与分部积分公式计算简单可积初等函数的定积分,了解无穷区间上广义积分的数学意义,并会计算一些简单函数的广义积分。

1 运动物体走过的路程。

2 曲边梯形的面积与定积分的概念。曲边梯形,定积分,可积函数。

3 微积分基本定理。

4 *微积分基本定理的几何解释。

5 定积分的基本性质。

6 定积分的换元法。

7 定积分的分部积分法。

8* 无穷区间上的广义积分。广义积分,广义积分收敛,广义积分的值,广义积分发散。


第6章  积分应用(8学时)

本章同时介绍不定积分与定积分的应用,要求掌握已知变化率求原函数的应用问题解法与可分离变量微分方程的解法,要求掌握定积分计算平面图形面积的方法。

1 变化率的反问题。

2 用定积分计算平面图形的面积。

3* 可分离变量的微分方程。微分方程,微分方程的解,通解,积分曲线组,特解,积分曲线,可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程的解法。

4 *几种常用的模型。指数模型,学习模型,逻辑斯蒂模型。

 

参考资料

华东师范大学数学系. 大学文科数学[M]. 华东师范大学出版社, 2011.

杨志民, 卢军. 大学文科数学[M]. 高等教育出版社, 2011.

陈光曙. 大学文科数学[M]. 同济大学出版社, 2009.

胡建德. 大学文科数学[M]. 清华大学出版社, 2010.

盛骤. 大学文科数学[M]. 高等教育出版社, 2006.

欧阳光中. 文科高等数学[M]. 高等教育出版社, 2012.

李佐锋. 文科高等数学[M]. 高等教育出版社, 2007.