厦门大学

偏微分方程

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课程概述

Partial Differential Equations(PDE)

本课程根据作者十多年为数学专业大学生讲授“数学物理方程”和“偏微分方程”课程的基础上,汲取近年来国内外同类优秀教材的精华制作而成的。课程共分六周,包括:(1)引言与偏微分方程建模;(2)偏微分方程一般概论;(3)求解波动方程的Cauchy问题(D'Alembert公式);(4)分离变量法;(5Fourier变换法;(6)能量方法与极值原理。各章内容紧凑、层次分明、一气呵成,并且讲授的内容完全根据课时选择,其余部分可以作为学生自行学习而用。

 

本课程力求实事求是地刻画偏微分方程这门学科产生的历史源头问题以及在当今世界的实用性,不仅选编了历史上著名的案例,还选编了现实感较强的案例进行分析,让同学们不仅感受到这门课程的理论价值,还希望能让读者感受这门学科的时代感和她所具有的社会的、现实的价值。因此,本课程可作为高等院校本科生“偏微分方程”、“数学物理方程”的在线学习课程,也可作为理工科和经济管理学科本科生、研究生的在线学习课程。


授课目标
(1)了解偏微分方程模型的来源、掌握偏微分方程建模方法,并了解其基本概念和基本问题; (2)熟练掌握应用行波法、分离变量方法、Fourier变换法和Green函数法求解三类典型方程;熟练掌握基本解及其性质、熟练掌握极值原理和能量方法; (3)训练用高维分部积分公式解决偏微分方程的前沿问题。 .
证书要求

1.完成课程所有单元测试题(20%);

2.完成5次主观题作业(互评) (20%);

3.完成考试(提交分享报告,互评) (50%);

4.参与课程讨论(“课堂讨论”中回复内容被赞的数量≥10) (10%)。



预备知识

高等数学、高等代数、解析几何、常微分方程

授课大纲

1周 从音乐审美到揭秘玛雅预言--偏微分方程的巨大威力

 

教学内容:什么是偏微分方程?它为什么产生?产生三类典型偏微分方程的源头问题是什么?现代提法怎样?如何建立三类典型偏微分方程?

 

教学要求:了解偏微分方程产生的历史与源头问题,了解建立三类典型偏微分方程的基本假设与方法,掌握建模方法。

 

2周 偏微分方程一般概念

 

教学内容:对两个变量的二阶偏微分方程进行分类。三类典型偏微分方程中涉及的初始(Chauchy)问题、初边值问题(Initial-boundary value problem)、边界值问题(Boundary value problem)

 

教学要求:掌握两个变量的二阶偏微分方程进行分类方法。掌握三类典型偏微分方程初始(Chauchy)问题、初边值问题(Initial-boundary value problem)、边界值问题(Boundary value problem)

 

3 D'Alembert公式

 

教学内容:线性叠加原理、齐次化原理(Duhamel原理)D'Alembert公式、左传播波、右传播波。

 

教学要求:掌握线性叠加原理和齐次化原理(Duhamel原理),掌握D'Alembert公式的推导方法,了解左传播波和右传播波。

 

4周 分离变量法

 

教学内容:一维Sturm-Liouville 问题、初等Fourier级数,应用分离变量法分别对波动方程、热传导方程和矩形区域Dirichlet边界的调和方程。

 

教学要求:掌握一维Sturm-Liouville 问题的求解,掌握Fourier级数的基本公式,掌握应用分离变量法分别对波动方程、热传导方程和矩形区域Dirichlet边界的调和方程求解。

 

5 Fourier变换法

 

教学内容:Fourier 变换的性质、用 Fourier 变换法求解波动方程的初值问题、用 Fourier 变换方法求解热传导方程的初值问题。

 

教学要求:掌握Fourier 变换的性质、掌握应用 Fourier 变换法求解波动方程的初值问题、掌握应用 Fourier 变换方法求解热传导方程的初值问题。

 

6周 能量方法与极值原理

 

教学内容:Gauss Green 公式、分部积分公式、能量方法与三类典型方程的唯一性。调和方程的极值原理、线性热方程的极值原理。

 

教学要求:熟练掌握Gauss Green 公式、分部积分公式、能应用能量方法证明简单三类典型方程的唯一性。熟练掌握调和方程的极值原理、线性热方程的极值原理、能应用极值原理法证明调和方程和线性热方程的的唯一性。


参考资料

主要材料:

偏微分方程—现象、建模、理论与应用,厦门大学谭忠编著.

即将由高等教育出版社出版,20169.

 

参考资料:

1Partial Differential Equations Through Examples And Exercises.

2.数学物理方程讲义,姜礼尚、吴兰成,高等教育出版社.

3Partial Differential Equations, L.C.Evans, American Mathematical Society Providence,Rhode Island.

4Linear Partial Differential Equations for Scientists and EngineersTyn Myint-ULokenath DebnathFourth Edition2007 Birkha¨user BostonISBN-10: 0-8176-4393-1.

 


常见问题

1.不知偏微分方程从何而来?

2.不知偏微分方程为何要来?

3.不知偏微分方程怎样得来?

4.不知偏微分方程是微积分的继续;

5.不知偏微分方程是微积分的提高;

6.不知学了偏微分方程有什么用?

7.不知偏微分方程跟其他学科的关系;

8.不知偏微分方程跟其他行业的关系;

10.不知“万物皆方程”。