厦门大学

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课程概述

本课程是在国家精品资源共享课程“数学建模”的基础上转型升级而成的MOOC,同时也是厦门大学组织“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛和美国大学生数学建模竞赛的培训课程。


本课程从数学产生的源头问题出发引出各种数学建模的问题与方法,内容涉及数学建模的步骤与论文写作规范,初等分析方法、初等代数方法和初等几何方法;进一步地,我们也介绍离散动力学方法(差分方程)和连续动力学方法(常微分方程方法和偏微分方程方法);同时还介绍了优化方法建模,即动态优化方法(变分法)和静态优化方法(线性与整数规划、非线性规划、动态规划、图论与组合优化方法)。同时,我们还将介绍随机数学方法(概率论与随机过程、蒙特卡罗模拟以及随机排队论以及排队论、存储轮、对策论和决策论)、统计方法(回归分析与方差分析、聚类分析与判别分析、主成分分析和因子分析、对应分析与典型相关分析、时间序列分析)以及模糊数学方法(模糊数学方法、灰色系统分析方法)。


本课程还配备了大量的应用案例分析可供参考,有相当数量的习题可供训练。所选案例不仅遍布了所有学科与工程技术领域、所有行业和日常生活中的实际问题,许多还紧扣当今科技发展前沿、紧扣国家和地方战略需求、紧扣社会热点问题,有利于提高同学们学习数学和应用数学解决实际问题的兴趣与能力,有利于大学生了解自己真正喜欢和擅长的学科与专业或行业与企业,开阔了大学生的学科视野,为大学生选择自己将来能充分发挥才能的学科深造做好了铺垫,也拓宽了那些选择就业的大学生的就业渠道,使同学们在训练中认清自己喜爱的行业,使自己的职业定位准确。有的案例可能正蕴育着新的数学思想并逐步产生新的数学分支,有利于促进大学生的创新意识、提高创新能力,也有利于同学们尽早进入科研前沿,做出原创的科研成果。在以上各个环节的训练和所有案例解答中,我们都引导使用者通过训练,熟练掌握计算机编程或相关数学软件,如MATLAB 与R 软件。


本课程可作为理、工、农、医、经济、管理、军事甚至人文社科等的高职高专学生、高等院校本科生以及研究生的数学建模训练的基础课程,特别适合作为大学生参加“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛和美国大学生数学建模竞赛培训课程,也可作为数学和其他学科教学科研人员和企事业单位的研发人员应用数学建模方法解决本领域中的实际问题的参考课程。

 


授课目标
(1)训练大学生应用定量分析的思想,分析和解决实际问题; (2)将类比方法和创新思维有机结合,学生既能应用已经建立起来的数学理论,又能进行创新思维,然后对实际案例进行分析、建模、求解及上机编程等训练; (3)通过问题驱动,促使学生主动学习数学知识、技巧和方法,提高解决问题的能力。
证书要求

1.完成课程所有单元测试题(20%);

2.完成5次主观题作业(互评) (20%);

3.完成考试(提交分享报告,互评) (50%);

4.参与课程讨论(“课堂讨论”中回复内容被赞的数量≥10) (10%)。


预备知识

高等数学、高等代数、解析几何、微分方程、线性规划、离散数学、MATLAB、R软件

授课大纲

第1周 数学思想与数学建模


教学内容:什么是数学建模--数学科学的演变,变量之间不同的量化关系形成不同的数学分支--确定性数学方法以及不确定性数学方法,数学理论与现实的关系,数学成为独立科学门类的原因,数学建模的应用--与各学科、与各行业,影响现象和事件变化发展的因素即变量的识别,数学建模的步骤,论文写作要求。

 

教学要求:了解数学建模的本质,了解纯粹数学与应用数学产生的根源,熟悉量化思想建立起数学分支的基本思想,了解数学理论与现实的关系,了解数学成为独立科学门类的原因,了解数学建模在各学科、各行业中的应用。熟练掌握在复杂现象和事件中判别影响其发展变化的因素即变量的技能,能迅速判别现象和事件的“理想状态”,熟练掌握数学建模的步骤,要以对待科研论文一样对待数学建模论文的撰写。


第2周 初等数据分析方法


教学内容:应用最初等的数据分析方法建立变量之间的最简定量关系--函数关系,函数概念的起源、利用变量间的比例关系、通过观察和初等数学的方法、数据拟合方法,尤其是最小二乘法,插值方法(一维和二维),拟合与插值的MATLAB实现。


教学要求:了解函数起源、发展的历史、社会与科学的原因、熟练掌握基本的自然定律建立函数关系,熟练应用初等数学方法建立变量间的函数关系,熟练应用数据拟合方法尤其是最小二乘法建模,熟练应用多种插值方法解决实际问题,熟练掌握拟合和插值方法的MATLAB实现。


第3周 初等分析方法


教学内容:当人类建立了最简单定量关系--函数关系之后,人类就开始研究函数的性质。最初,就是函数的周期性、单调性,后来微积分的诞生促使人们应用微积分研究各种函数的不同性质,这些内容就形成了我们大学一二年级学习的微积分或高等数学以及数学分析的主要内容。这些内容又进一步告诉我们微积分在现实中有什么应用价值。微积分的精髓在于积分思想、微分思想和初等函数的优化思想,这些内容形成了我们本周的主要内容。


教学要求:了解微积分的起源、发展的历史、社会与科学的原因、熟练掌握积分思想、微分思想以及初等函数的优化思想在现实中的应用,熟练应用它们解决实际问题,有时候注意MATLAB实现。


第4周 初等代数和几何方法


教学内容:有时候现象或事件中变量之间呈现向量值函数的关系,设D是上的点集,D到的映射

称为n元m维向量值函数(或多元函数组),记为z=f(x).D称为f(x)的定义域,{z属于|z=f(x),x属于D}称为f的值域.多元函数是m=1的特殊情形.f可以表达为分量形式

因此f又可表示为

它们有的是线性代数方程,比如在投入产出问题中;另一种就是非线性代数方程,有的来自于几何中的曲线、曲面的方程以及其他领域.下面,我们分两部分介绍:一部分是线性代数方法;另一部分是初等几何方法.


教学要求:了解线性代数、几何的起源、发展的历史、社会与科学的原因、熟练掌握线性代数思想和几何思想在现实中的应用,熟练应用它们建立代数和几何模型,解决实际问题。


第5周 差分方程方法


教学内容:许多事件在发展变化时,其因素都是以等时间间隔为周期变化着的.例如,银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息、外贸出口额按月统计、国民收入按年或月统计、产品的产量按月统计、股票按几秒计数等等.针对这类问题,我们能否应用定量思维的方式建立变量之间的定量关系呢?首先注意这类变量是离散型变量,通常我们希望通过某种机理或数据本身的规律将后面的数据与前面一个或两个数据之间建立定量关系,这种描述离散型变量之间的定量关系就是差分方程模型.随着科学技术的迅猛发展,差分方程理论在众多领域都有重要应用.


教学要求:熟练掌握差分思想建模方法,能熟练对现实问题能运用差分方程方法建模,掌握用Matlab 等软件求解差分方程(组)的方法.


参考资料

主要材料:《数学建模--问题、方法与案例分析》上册,厦门大学谭忠编著

高等教育出版社即将出版,2016年9月;下册待出版


参考资料:

1.  姜启源,谢金星,叶俊.数学模型(第三版).北京:高等教育出版社,2003,8

2.  谭永基,蔡志杰,俞文跐.数学模型.上海:复旦大学出版社,2006,3

3.  薛毅.数学建模基础.科学出版社,2011,4

4.  薛毅,陈立萍.统计建模与 R 软件.北京:清华大学出版社,2007,4

5.  费浦生,羿旭明,王文波,张凯,袁玲.数学建模及其基础知识详解.武汉大学出版社,2006,5

6.  王树禾.数学模型选讲.科学出版社,2008,1


常见问题

(1)对现实问题,无法确定变量,更找不到主要变量;

(2)对复杂问题没有头绪,找不到“理想状态”;

(3)重视自然(物质)变量,忽略精神(人文)变量;

(4)对有的变量无法进行量化;

(5)应用数学建模解决实际问题就象是做一道数学题;

(6)没有认识到应用量化思想解决实际问题、建立数学模型的过程看成科技创新的过程;

(7)没有将数学建模论文的写作过程看成是科技论文的写作过程。