西安交通大学

高等数学(二)

图片
课程概述

随着社会科学技术的迅猛发展,特别是计算机科学技术以及信息技术日新月异的发展,数学已经渗透到了人类生活的各个领域。学习任何一门工科课程都必须用到高等数学知识。同时,高等数学也是各高校本科生必修的一门重要基础课。

高等数学(二)3章内容,包括:多元函数微分学及其应用(偏导数、方向导数、全微分、梯度、多元微分学在几何上的应用),多元函数积分学及其应用(二重积分、三重积分、第一型线面积分、第二型线面积分、含参变量积分),无穷级数(常数项级数、函数项级数、幂级数、Fourier级数)。

为方便在线学习,我们将每讲内容分成了若干小片段,每个片段讲解1~2个知识点,便于学习者理解掌握。而针对每一讲的教学内容都配有一定量的典型例题、释义解难、思考题、数学史资料等,每讲还配有自测题供学习者作为平时成绩考核之用。

         本课程的教学目标是要求学生系统地掌握多元函数微积分学,无穷级数的基本概念、基本理论和基本方法,同时通过数学实验来培养学生的综合素质,即实验动手能力、分析设计能力及团队合作精神,拓展学生思维,激发学生的创新意识,使学生在分析问题的基本思维方面受到必要的训练,在运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力方面有一定提高,并对现代数学的某些思想方法有所了解,为继续学习现代数学接轨。


证书要求

本课程的学习环节包含:观看讲课视频及其它课程资源、完成每周的单元测验题、参与课程讨论、参加期末考试。

课程学习成绩由两部分构成:

(1)单元测验:在每周学习结束后,将有一次单元测验,题型为选择题与判断题。所有单元测验分数占课程成绩的50%。

(2)课程考试:课程结束后,有期末考试,成绩占50%。

完成课程学习并考核合格(>=60分)的可获得合格证书,成绩优秀(>85分)的可获得优秀证书。

 


预备知识

高等数学(一)的知识。

授课大纲

第五章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的基本概念

1Rn空间中点集的相关概念

2.多元函数的概念

3.二元函数的图形

第二节 二元函数的极限

       1.二重极限的概念

       2.判别二重极限不存在的方法  

第三节 二元函数的连续性

       1.二元函数连续性的定义

       2.二元函数间断点的定义

       3.多元函数的连续性

第四节 偏导数

       1.偏导数的定义

       2.偏导数的计算

       3.二元函数偏导数的几何意义

第五节 高阶偏导数

       1.高阶偏导数的定义和记号

       2.混合偏导数相等的条件

第六节 全微分

       1.全微分的定义

       2.全微分存在的必要条件

       3.全微分存在的充分条件

       4.全微分在近似计算中的应用

第七节 多元复合函数的求导法则

1.全导数的求导公式

2.多元复合函数偏导数的求导法则

3.多元复合函数求二阶偏导数举例

4.全微分形式不变性

第八节 隐函数的求导法

1.一个二元方程确定的一元隐函数的求导方法

2.一个三元方程确定的二元隐函数的求偏导方法 

3.由方程组确定的隐函数的求(偏)导法

第九节 一元向量值函数及其导数

1.一元向量值函数的概念

       2.一元向量值函数的极限和连续的概念

3.一元向量值函数的导数及其物理意义

4.多元向量值函数的导数和微分

第十节 多元函数微分学的几何应用

1.空间曲线的切线与法平面的定义

2.空间曲线的切线与法平面的求法

3.曲面的切平面与法线的定义

        4.曲面的切平面与法线的求法

第十一节 方向导数

1.方向导数的定义和实际意义

2.方向导数存在的充分条件与计算公式

第十二节 梯度

1.梯度的定义及其与方向导数的关系

2.等值线和等量面的概念及其与梯度的关系

第十三节 多元函数的极值

1.多元函数极值的概念

2.多元函数极值的必要条件和充分条件

3.多元函数最大值和最小值的求法举例

第十四节 条件极值和拉格朗日乘数法

1.条件极值的概念及拉格朗日乘数法

2.条件极值应用举例

第六章 多元函数积分学及其应用

第一节 多元数量值函数积分的概念与性质

1.引例:物体质量与体积的计算

2.多元数量值函数积分的定义

3.多元数量值函数积分存在的条件与性质

第二节 直角坐标下二重积分的计算

        1X型积分域上二重积分的计算

        2Y型积分域上二重积分的计算

3.一般区域上二重积分的计算

4.对称区域上二重积分的计算

第三节 极坐标系下二重积分计算

        1.极坐标系下的面积元素(微元)

        2.极坐标系下二重积分的计算

    第四节 二重积分的一般换元法

第五节 直角坐标系下三重积分的计算

         1.通过先单后重化三重积分为三次积分

     2.通过先重后单化三重积分为三次积分

第六节 柱面坐标系下三重积分的计算法

第七节 球面坐标系下三重积分的计算法

        1.球面坐标系及三重积分的计算

        2.对称区域上三重积分的计算

第八节 重积分的应用

        1.物体的质心

2.物体的转动质量

3.物体间的引力

第九节 第一型曲线积分(对弧长的曲线积分)

        1.引例

        2.第一型曲线积分的定义与性质

    3.第一型曲线积分的计算方法

第十节 第一型曲面积分(对面积的曲面积分)

        1.第一型曲面积分概念与性质

2.第一型曲面积分的计算方法

第十一节 第二型曲线积分(对坐标的曲线积分)

        1.引例

    2.第二型曲线积分的定义与性质

    3.第二型曲线积分的计算法

    4.两类曲线积分的联系

第十二节 格林公式

    1.平面区域的连通性

        2.格林公式及其证明

    3.利用格林公式计算第二型曲线积分

第十三节 平面曲线积分与路径无关问题

        1.平面曲线积分与路径无关和沿闭合路径积分为零的等价性

        2.平面曲线积分与路径无关的充要条件

第十四节 二元函数的全微分求积问题

    1.被积表达式是某函数全微分的充要条件

    2.全微分求积的方法

第十五节 第二型曲面积分(对坐标的曲面积分)

    1.引例

  2.第二型曲面积分的定义与性质

    3.第二型曲面积分的计算法

    4.两类曲面积分之间的联系

第十六节 斯托克斯公式公式与旋度

     1.斯托克斯公式的条件和结论

     2.利用斯托克斯公式计算空间第二型曲线积分举例

     3.环量与环量密度

 4.旋度的定义

 5.旋度的计算

 第十七节 高斯公式与散度

 1.高斯公式及其证明

     2.利用高斯公式计算第二型曲面积分

     3.散度的定义及计算

         4.散度的运算法则

第十八节 几种重要的特殊向量场

         1.空间无旋场(包含空间曲线积分与路径无关的条件

         2.空间无源场

         3.调和场

第七章  无穷级数                                        

第一节 常数项级数

1.引例与常数项级数的有关概念   

2.常数项级数举例

第二节 收敛级数的基本性质

1.线性性质

2.级数的敛散性与改变任意有限项无关

3.级数收敛的必要条件

4.收敛级数的加括号性质  

第三节 正项级数的比较审敛法

1.正项级数及其收敛的充要条件

2.比较审敛法

3.比较审敛法的极限形式

4.积分准则

第四节 正项级数审敛的比值法与根值法

1.比值审敛法

    2.根值审敛法

第五节 交错级数及其审敛法

1.交错级数的概念   

2.莱布尼兹判别法  

第六节 一般常数项级数及其审敛法

1.绝对收敛与条件收敛的概念

2.绝对收敛判别法

第七节 绝对收敛级数的性质

    第八节 函数项级数

第九节 幂级数及其敛散性的判别法

1.函数项级数的有关概念

2.阿贝尔定理

3.幂级数的收敛半径和收敛区间及其求法

第十节 幂级数的运算

1.幂级数的四则运算

2.幂级数和函数的分析性质

3.求幂级数的和函数举例

第十一节 函数展开成幂级数

1.泰勒级数的概念

2.函数展开为泰勒级数的充要条件

3.常用函数的麦克劳林展开式

4.求幂级数和函数举例

第十二节 函数的幂级数展开式的应用举例    

第十三节 傅里叶级数

        1.问题的引入、三角函数系及其正交性

        2.傅里叶级数的收敛定理

    第十四节 周期为2pi的函数的傅里叶展开

1.周期为2pi的函数展开为傅里叶级数的方法

        2.定义在[0, pi]上的函数展成正弦级数或余弦级数的方法

第十五节 周期为2l的函数的傅里叶展开(40分钟)

1.周期为2l的函数展开为傅里叶级数的方法

        2.定义在[0, l]上的函数展成正弦级数或余弦级数的方法 


参考资料

1马知恩王绵森,高等数学基础:多元函数微积分与无穷级数(第二版),高等教育出版社,2010.

2)武忠祥,工科数学分析基础教学辅导书(下册),高等教育出版社,2006.

3)魏战线,工科数学分析基础释疑解难,高等教育出版社,2007.