西安交通大学

高等数学(一)

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课程概述

随着社会科学技术的迅猛发展,特别是计算机科学技术以及信息技术日新月异的发展,数学已经渗透到了人类生活的各个领域。学习任何一门工科课程都必须用到高等数学知识。同时,高等数学也是各高校本科生必修的一门重要基础课。

高等数学(一)4章内容,包括:微积分的理论基础(函数、极限及连续),一元函数微分学及其应用(导数、微分、中值定理、函数形态),一元函数积分学及其应用(定积分、微积分基本公式、不定积分、反常积分、几类简单的微分方程),无穷级数(常数项级数、函数项级数、幂级数、Fourier级数)。

为方便在线学习,我们将每讲内容分成了若干小片段,每个片段讲解1~2个知识点,便于学习者理解掌握。而针对每一讲的教学内容都配有一定量的典型例题、释义解难、思考题、数学史资料等,每讲还配有自测题供学习者作为平时成绩考核之用。

         本课程的教学目标是要求学生系统地掌握一元函数微积分学,无穷级数,多元函数微积分学,常微分方程的基本概念、基本理论和基本方法,同时通过数学实验来培养学生的综合素质,即实验动手能力、分析设计能力及团队合作精神,拓展学生思维,激发学生的创新意识,使学生在分析问题的基本思维方面受到必要的训练,在运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力方面有一定提高,并对现代数学的某些思想方法有所了解,为继续学习现代数学接轨。

 

 


证书要求

本课程的学习包含:观看讲课视频及其他课程资源、完成每周测试题、参与课程讨论、参加期末考试。

    课程学习成绩由二部分构成:

  (1)单元测验:每周学习结束后有一次单元测验,题型为单项选择题和判断题,每次测试10道,每题10分。每人每周有3次机会可以尝试,有效成绩为三次提交的最高分数。所有单元测验分数占课程成绩的50%

  (2)课程考试:课程结束后,学生可以参加课程的最后考试,成绩占50%

       完成课程学习并考核合格(>=60)的可获得合格证书,成绩优秀(>85)的可获得优秀证书。



预备知识

高中毕业所要求的数学知识。

授课大纲


第一章   微积分的理论基础

第一节 函数

1.集合的概念

2. 映射

3. 函数

4.几个函数及图形的例子

        5.函数的几种特性

        6.复合映射与复合函数

7.逆映射与反函数

8. 基本初等函数与初等函数

9. 双曲函数

第二节  数列极限的概念

        1.数列的概念

2.数列极限的描述性定义

3.数列极限的严格定义

        4.数列极限的几何解释

第三节 收敛数列的性质

1.收敛数列极限的唯一性

2.收敛数列极限的有界性

3.收敛数列极限的保号性

4.子数列的概念

第四节 自变量趋于无穷大时函数极限的概念

1.自变量趋于无穷大时函数极限的定义

        2.自变量趋于无穷大时函数极限的几何解释

第五节 自变量趋于有限值时函数极限的概念

1.自变量趋于有限值时函数极限的定义

        2.自变量趋于有限值时函数极限的几何解释

3.左右极限及其与极限存在的关系

第六节 函数极限的性质

1.函数极限的几个简单性质

2.函数极限与数列极限的关系  

第七节 无穷小与无穷大

1.无穷小的概念

2.无穷大的概念

第八节 函数极限的运算法则

1.函数极限的四则运算法则

2.复合函数极限的运算法则

第九节 极限存在准则及两个重要极限

1.极限存在的夹逼准则

2.重要极限sin x / x及其在求极限中的应用举例

3.数列的单调有界收敛准则

4.重要极限e其在求极限中的应用举例

第十节 无穷小的比较

1.无穷小阶的概念

2.等价无穷小在求极限中的应用举例

第十一节 函数的连续性

1.函数连续的概念

2.连续函数举例

  第十二节 函数的间断点

1.函数的间断点

2.间断点举例

  第十三节 连续函数的运算

  第十四节 初等函数的连续性

  第十五节 闭区间上连续函数的性质

第二章  一元函数微分学及其应用

第一节 导数的概念

1.引例

2.导数的定义

3.左右导数及其与可导的关系

4.在一个区间上的可导性与可导函数

5.导数的几何意义

6.函数可导性与连续性的关系

第二节 函数的求导法则

1.函数求导的四则运算法则

2.反函数的求导法则

3.复合函数的求导法则

4.基本初等函数的导数公式表

第三节 高阶导数

1.高阶导数的概念

2.高阶导数的计算

3.几个基本初等函数的高阶导数公式

第四节 隐函数的求导法

1.隐函数的概念

2.隐函数的求导法及应用举例

第五节 由参数方程所确定的函数的导数

1.由参数方程所确定的函数的概念

2.由参数方程所确定的函数的求导法

3.参数方程求导法应用实例

第六节 相关变化率

1.相关变化率的概念与计算

2.相关变化率的应用实例

第七节 函数的微分

1.微分的概念

2.可微与可导的关系

3.微分的几何意义

4.微分运算法则

5.微分在近似计算中的应用

第八节 罗尔定理

1.罗尔定理及其几何意义

2.罗尔定理的证明

3.罗尔定理的应用举例

第九节 拉格朗日定理

1.拉格朗日定理及其几何意义

2.拉格朗日定理的证明

3.拉格朗日公式的几种形式

4f(x)的导函数在区间I上恒为零的充要条件

5.拉格朗日公式的其他应用举例

第十节 柯西中值定理

1.柯西中值定理及其几何意义

2.柯西中值定理的证明

3.三个中值定理间的关系

4. 柯西中值定理的应用举例

第十一节 洛必达法则

1.  0 / 0比零型未定式的洛必达法则

2.无穷比无穷型未定式的洛必达法则

3 用洛必达法则求无穷减无穷型和0乘无穷型未定式的极限

4 用洛必达法则求其他型未定式的极限

5.不能用洛必达法则求解的未定式的例子

第十二节 泰勒定理

1.多项式逼近函数与泰勒公式

2.具有佩亚诺余项的泰勒定理

3.具有拉格朗日余项的泰勒定理

4.常用函数的麦克劳林公式及其应用举例

第十三节 函数的单调性

1.函数单调性的判别法

2.函数单调性的应用举例     

第十四节 函数曲线的凹凸性

1.曲线凹凸性的定义和几何解释

2.曲线凹凸性的判别法

3.拐点的定义和几何解释

4.拐点的判别法    

第十五节 函数的极值

1.函数极值的概念

2.函数极值点的必要条件

3.函数极值点的第一充分条件

4.函数极值点的第二充分条件 

第十六节 函数的最值

1.函数最大值最小值的求法

2.函数最值的应用实例

第十七节 函数图形的描绘

1.借助导数描绘函数图形的步骤

2.函数作图举例

3.利用软件函数作图

第十八节 平面曲线的曲率 

1.弧微分及其计算公式

2.曲率的概念

3.曲率的计算公式

4.曲率圆与曲率半径

     5.曲率的应用举例

第三章  一元函数积分学及其应用

第一节  定积分的概念

1.定积分问题举例

2.定积分的定义

3.定积分的几何意义

4.定积分存在的条件

第二节 定积分的性质

       1.线性性质及、区间的可加性及积分不等式

       2.定积分的中值定理

第三节 微积分基本公式与基本定理

1. 牛顿-莱布尼茨公式

2. 变上限积分求导

3. 变上限积分求导举例

4. 不定积分

第四节 两种基本积分法

1.不定积分的第一换元法

2.不定积分的第二换元法

3.定积分的换元公式

4.不定积分的分部积分法

5.定积分的分部积分法

6.初等函数的积分问题

第五节 反常积分

        1.无穷区间上的积分

2.无界函数的积分

3.伽马函数

第六节 定积分的元素法(微元法)

第七节 定积分在几何上的应用

        1.直角坐标系下面积的计算

        2.极坐标系下面积的计算

3.旋转体体积的计算

4.平行截面面积已知的立体体积的计算

5.平面曲线弧长的计算

第八节 定积分在物理上的应用

1.变力沿直线做功的计算

2.液体压力的计算

3.引力的计算

第九节 常微分方程的基本概念

1 引例与微分方程的定义

2 微分方程的阶、解、通解、初值条件、特解的含义

3 一阶微分方程及其解的几何意义

第十节 可分离变量的微分方程

第十一节 齐次微分方程

第十二节 一阶线性微分方程

1.一阶线性微分方程的一般形式

2.一阶线性微分方程的解法

第十三节 伯努利方程

第十四节 一阶微分方程的应用举例

1.用几何、物理知识建立微分方程举例

2.用微元法建立微分方程举例

第十五节 可降阶的高阶微分方程

1.第一型微分方程及其降阶法

2.第二型微分方程及其降阶法

3.第三型微分方程及其降阶法

4.可降阶微分方程的应用举例

第四章  无穷级数                                        

第一节 常数项级数

1.引例与常数项级数的有关概念   

2.常数项级数举例

第二节 收敛级数的基本性质

1.线性性质

2.级数的敛散性与改变任意有限项无关

3.级数收敛的必要条件

4.收敛级数的加括号性质  

第三节 正项级数的比较审敛法

1.正项级数及其收敛的充要条件

2.比较审敛法

3.比较审敛法的极限形式

4.积分准则

第四节 正项级数审敛的比值法与根值法

1.比值审敛法

    2.根值审敛法

第五节 交错级数及其审敛法

1.交错级数的概念   

2.莱布尼兹判别法  

第六节 一般常数项级数及其审敛法

1.绝对收敛与条件收敛的概念

2.绝对收敛判别法

第七节 绝对收敛级数的性质

    第八节 函数项级数

第九节 幂级数及其敛散性的判别法

1.函数项级数的有关概念

2.阿贝尔定理

3.幂级数的收敛半径和收敛区间及其求法

第十节 幂级数的运算

1.幂级数的四则运算

2.幂级数和函数的分析性质

3.求幂级数的和函数举例

第十一节 函数展开成幂级数

1.泰勒级数的概念

2.函数展开为泰勒级数的充要条件

3.常用函数的麦克劳林展开式

4.求幂级数和函数举例

第十二节 函数的幂级数展开式的应用举例    

第十三节 傅里叶级数

        1.问题的引入、三角函数系及其正交性

        2.傅里叶级数的收敛定理

    第十四节 周期为2pi的函数的傅里叶展开

1.周期为2pi的函数展开为傅里叶级数的方法

        2.定义在[0, pi]上的函数展成正弦级数或余弦级数的方法

第十五节 周期为2l的函数的傅里叶展开(40分钟)

1.周期为2l的函数展开为傅里叶级数的方法

        2.定义在[0, l]上的函数展成正弦级数或余弦级数的方法  

参考资料

1)王绵森,马知恩,高等数学基础:一元函数微积分与无穷级数(第二版),高等教育出版社,2010.

2)武忠祥,工科数学分析基础教学辅导书(上册),高等教育出版社,2006.

3)魏战线,工科数学分析基础释疑解难,高等教育出版社,2007.