线性代数学习指导与应用案例
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spContent=线性代数抽象、难学,不知道有啥用?本课程从代数与几何角度来诠释抽象概念,梳理解题的思路与方法技巧,展示丰富的应用案例,学用MATLAB软件进行计算,达到深入理解与掌握线性代数理论与计算,提升创新意识、数学建模及数值计算的能力。 无论你是正在学习线性代数课程,还是准备考研都会受益多多哦。
—— 课程团队
课程概述

统计数字表明,大学数学课程中对学生影响最大的是线性代数,其次是高数下即多元函数微积分------中国科学院院士徐宗本

线性代数是最有趣、最有价值的大学数学课 -------美国数学教育家David C.Lay

线性代数是处理矩阵和向量空间的数学分支,具有高度的抽象性,而矩阵计算已成为科学研究的三大手段之一。随着计算机技术的飞速发展与广泛应用,作为离散化和数值计算理论基础的线性代数的作用与地位显得日益重要,线性代数在现代科学的各个领域都有广泛的应用。

但线性代数抽象难懂,学了有什么用?这是学生普遍存在的疑问。

   本课程针对学习线性代数中遇到问题,答疑解惑,深入探究包括五部分内容:一是线性代数常用的MATLAB计算,如线性方程组的MATLAB求解方法等。学会用数学软件进行分析与计算是理工科学生必备的能力。二是从几何角度对线性代数的抽象概念进行诠释,如特征值与特征向量的几何意义等。三是典型题型与解题方法,根据多年的教学经验,收集、整理学生常见的问题,精心筛选,使学生牢固掌握相关知识。四是精彩应用案例,并配有MATLAB计算程序。有助于激发学生学习兴趣,培养学生应用建模与解决实际问题的创新意识与能力。五是知识拓展选讲,如超定线性方程组的最小二乘法、矩阵的四个基本子空间等。很多实际问题的数学模型是超定线性方程组(即无解),弥补了线性代数传统内容的不足。每单元配有测试题。


授课目标

通过本课程的学习,化解线性代数难点,提高解题的能力,领略丰富多彩的应用案例,学会用MATLAB软件进行复杂计算,从而激发学习线性代数的兴趣,深入理解与掌握线性代数理论与计算,提升应用建模及数值计算的能力,为后续课程的学习和工作实践奠定基础。

课程大纲


1单元   利用MATLAB计算

     学会用数学软件进行复杂计算是理工科学生必备的科学计算能力。MATLAB(Matrix  Laboratoy)软件是一款功能强大的科学与工程计算软件,具有以矩阵为基础的数学计算和分析、丰富的可视化图形表现功能及方便的程序设计能力,应用广泛。本单元介绍MATLAB中常用的线性代数计算及绘图等命令函数,也为后续的单元相关内容做准备。

1.1 矩阵的MATLAB计算

1.2 行列式的MATLAB计算

1.3 线性方程组的MATLAB求解

1.4 矩阵对角化的MATLAB方法

1.5 利用MATLAB求向量组的最大无关组

  附:MATLAB常用命令函数.pdf

2单元   重点难点概念释疑

    本单元一方面借助MATLAB软件直观诠释线性代数一些抽象概念的几何含义,另一方面进行了详细的讲解与辨析,帮助同学们深入理解与掌握线性代数的基本概念与理论。

2.1 线性方程组与行列式的几何意义

2.2 平面上线性变换的几何意义

2.3 特征值与特征向量的几何意义

2.4 二次型的几何意义

2.5 向量组的线性相关性

2.6 向量空间

 2.7 线性代数各章节之间的联系

 3单元   典型题型与解题方法

    本单元旨在帮助同学们梳理解题思路,熟悉常用的解题方法与技巧,更好地掌握线性代数基本解题方法,举一反三,融会贯通。

3.1  n阶行列式的计算

    附:行列式常见问题解答.pdf

3.2 判别向量组线性相关性的几种方法

3.3 矩阵与应用典型例题选讲

   附:矩阵及其应用常见问题解答.pdf

       矩阵各种运算规律的归纳.MP4

3.4 行列式与线性方程组典型例题选讲

   附:矩阵与线性方程组常见问题解答

3.5  n维向量与向量空间典型例题选讲

   附: 向量与向量空间常见问题解答

3.6 相似矩阵与二次型典型例题选讲

  附:相似矩阵与特征值特征向量常见问题解答

      二次型与应用常见问题解答

4单元   精彩应用案例

    学习数学的最高境界是用数学知识来解决实际问题,但无论是线性代数还是高等数学、概率论与数理统计课程都缺乏应用案例,学生常常困惑不知有啥用?本单元精心准备了一些应用案例,特别是结合我校专业特色,讲授了通信、雷达天线方面的精彩应用实例,并配有MATLAB计算程序。旨在激发学生的学习兴趣,提升对实际问题进行数据分析、数学建模与计算的能力。

4.1 利用行列式证明微分中值定理

4.2 投入产出模型

4.3 市场占有率问题

4.4 选举问题

4.5 矩阵运算在现代通信中应用之空时块码

4.6矩阵特征值分解在MIMO信道容量分析中的应用

4.7 利用矩阵求斐波那契数列通项

4.8阵列天线电波到达方向估计

5单元   知识拓展

    信息技术加快了各学科进步与发展,对传统工科数学课程等提出了新的需求,如很多实际问题的数学模型都是大规模超定(无解)线性方程组,但线性代数课程通常是不讲无解线性方程组的,因此本单元讲授超定线性方程组经典的算法即最小二乘法及其应用。矩阵已成为科学研究的三大手段之一,因此对矩阵计算等进行了深入探讨。

5.1超定线性方程组的最小二乘解

5.2数据拟合的最小二乘法

5.3求特征值与特征向量的互逆变换法

5.4矩阵的标准形

5.5矩阵的四个基本子空间

5.6矩阵的几种分解

 

证书要求

完成每单元后的测试题,获得课程得分。根据得分证书分为合格与优秀两种。

参考资料

【1】Bernard Kolman,David R.Hill 原著,王殿军改编.   《Introductioy LINEAR 

         ALGEBERA(8/E),线性代数及其应用》,高等教育出版社

【2】GILBERT STRANG.《Introduction to LINEAR ALGEBRA》(FOURTH EDITION),Wellesley-

        Cambridge Press

【3】高淑萍,马建荣,张鹏鸽,杨威。《线性代数及其应用》,西安电子科技大学出版社

【4】张鹏鸽,高淑萍。《线性代数疑难释义》,西安电子科技大学出版社

【5】高淑萍,张剑湖。《线性代数重点 难点 考点辅导与精析》,西北工业大学出版社

【6】陈怀琛,高淑萍,杨威。《工程线性代数》,电子工业出版社