西安电子科技大学

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课程概述

“实用大众线性代数(MATLAB版)”简介

传统的线性代数已经在数学系讲授了二百多年,但并未被非数学系接受,一是因为其计算量太大,无法实用;二是其中包含了很多对工科没用的抽象理论。直到计算机和数学软件的出现,使它的计算很易为工程师掌握,从而使得愈来愈多的新领域得到了开拓,线性代数也因此于1960年代后成为许多非数学专业的公共基础课。这种“需求牵引”对非数学专业而言,体现在用计算机求解高阶的现实矩阵模型,不是去手工推证课程内部的数学公式,两者的大体差别可见表1。

表1 数学系与非数学系的不同要求


数学系的重点

非数学系的需求

矩阵的阶数

小矩阵(小于 4阶)

大矩阵(高至几十~几百阶)

理论的内容选择

小矩阵经典理论

能兼用于大、小矩阵的理论

工具和对结果的要求

手工推导和公式证明

计算机、数学软件和实用的结果

理论和工具产生年代

1950年前的经典年代

经典年代加上1950后的计算机时代

要求建立的概念

强调N维空间抽象思维

强调三维空间立体概念

解决的问题

假想的整数元素小矩阵题

后续课及工程中遇到的实际问题

如果简单照搬原数学系的线性代数,那就和计算机出现前一样,无法满足非数学专业的需要。要对它进行改造,在数学系内闭门造车是不行的,必须面向应用,利用计算机,进行跨专业的创新研究。在实践了20多年后,美国于1990年提出了改革作为公共基础课的线性代数的LACSG五点建议,从顶向下推动改革:(1)线性代数必须满足非数学专业的需求;(2)要面向矩阵运算而不是向量空间;(3)要从学生的实际水平出发;(4)要使用最新的计算技术;(5)抽象内容应放到后续课去讲。随后,他们实施了为期六年的ATLAST计划,使大批线性代数教师学会了MATLAB软件。经过十年左右,他们的作为基础课的线性代数教材都用了计算机和MATLAB,理论趋向于更浅显易懂。

西安电子科技大学从2005年起进行了持续的探索,先根据国外1990年的做法,在校内进行了为期三年,包括40位教师和1200名学生的试点,效果很好。其结果得到教育部数学教指委的首肯和高教司的立项拨款支持。项目名称为“用MATLAB和建模实践改造工科线性代数”,并指定陈怀琛教授为项目负责人,西安电子科技大学牵头,组织带动15-20个大学试行两年(2009-2010)。此项目于2011年结题,实际参加的大学有19个,200位教师,45000名学生受益。张景中、张尧学、林群、廖振鹏、徐宗本等五位院士在对此项目的鉴定中做了高度评价,特别建议在培养应用型人才中推广。

此项目的影响是深远的,例如西安电子科技大学的线性代数课程已经连续八年(2009-2016)在每届5000多名修课学生中采用与计算机结合的方法实施,使学生早期就接触了矩阵建模和MATLAB软件,在很多后续课程中都能使用计算机及MATLAB进行教学,线性代数被正式列为这些课程的先修课,真正地确立了它的基础课地位,明显提高了教学质量和学生的创新能力。师生在各种校际竞赛中屡屡领先。 

根据二十年来推动工程教育中使用计算机,和十年来线数改革的经验,我们的教学内容和传统的内容有很大不同。大体表现在三个方面:

1. 实用化:以解决实际问题为主导,因此注重于对问题的建模,即建立矩阵模型;而不是推导数学课内的公式;本书提供的几十个实例,涉及十多门课程中的应用,包括复杂线性系统的化简、三维精密测量数据点的拟合...等后续课中的难题,都可用本课提供的方法解决,这都是古典线性代数束手无策的。

2. 现代化:用计算机和数学软件MATLAB代替笔算,节省了学生很多时间,使他们把更多注意力放到解决工程中高阶和精密的线数问题,同时也可以充分利用1950年以来线性代数的最新成果,如qr(正交)分解、svd(奇异值)分解等,它们都集成在软件工具中。

3. 大众化:我们去除了许多工程中完全无用的线数概念,降低了本课程的学时消耗和理论门槛,使多年不接触数学的工程技术人员都能在30学时内掌握。特别适合于不需考研的在职人员的继续教育。本慕课所附的论文“论非数学专业的线性代数”更深入地阐述了许多线性代数理论为何对工程专业可以扬弃。

要学好本课,读者应准备装有MATLAB最低版本的计算机。本书的程序集和部分论文,可到陈怀琛的主页网站上去下载,网页地址为:

http://chen.matlabedu.cn


授课目标
1. 线性方程组:掌握高阶适定方程组求解的基本原理,并会用MATLAB实施; 2. 矩阵建模:读者应掌握高阶线性方程组转换为矩阵模型的方法; 3. 了解超定和欠定方程组的意义及其解法; 4. 初步掌握坐标变换矩阵对平面图形形状与位置的影响; 5. 初步了解线性代数在解决后续课程中的应用。
证书要求

平时章节测验成绩占20%,期末考试占80%,按百分制计分,60分至79分为合格,80至100分为优秀。

预备知识

中学代数

授课大纲

教学大纲目录

1  线性方程组与矩阵(连序言及MATLAB入门共两周4学时)

1.1  概述

1.2  二元和三元线性方程组解的几何意义

1.3  高斯消元法与阶梯形方程组

1.4  矩阵及矩阵的初等变换

1.5  行阶梯形矩阵的用途

1.6  应用实例

2  矩阵运算及其应用两周4学时)

2.1  矩阵的加、减、乘法

2.2  矩阵的逆

2.3  矩阵的分块

2.4  初等矩阵

2.5  行阶梯形变换等价于矩阵乘法——LU分解

2.6  应用实例

3  行列式(连MATLAB绘图共两周4学时)

3.1  二、三阶行列式的意义

3.2  n阶行列式的三种定义方法及本书的选择

3.3  行列式的性质

3.4  行列式的计算机算法

3.5  应用实例

4  平面和空间向量两周4学时)

4.1  向量的类型

4.2  向量及其线性组合

4.3  向量组的线性相关性

4.4  从向量空间看线性方程组的解

4.5  MATLAB解线性方程组综述

4.6  应用实例

5  线性变换及其特征两周4学时)

5.1  平面上线性变换的几何意义

5.2  用线性变换表述物体的形变和运动

5.3  正交坐标系

5.4  以数据为基础建立坐标系及QR分解

5.5  方阵的对角化及其应用

5.6  应用实例

6  线性代数在后续课程中的应用举例(连结束语共两周4学时)

6.1  电路中的应用

6.2  力学中的应用

6.3  信号与系统中的应用

6.4  数字信号处理中的应用

6.5  在空间解析几何中的应用

6.6  测量学中的应用

6.7  动漫技术中的应用

6.8  自动控制系统中的应用

6.9  机器人运动学中的应用

6.10  文献管理中的应用

6.11  经济管理中的应用

MATLAB的矩阵代数和作图初步(此内容占2学时,将分别插入第一、二、三章中讲授)

7章 线性代数在工程和科技中的应用举例(电子稿,放在网上可下载,不列入教学大纲)

合计(24学时,分12周实施)

参考资料

[1] 陈怀琛,《实用大众线性代数(MATLAB版)》,西安,西安电子科技大学出版社,2014.8。

[2] 陈怀琛,高淑萍,杨威,《论非数学专业的线性代数》,应用数学和工程数学国际会议(AEM-S2016)论文集.编号60009,苏州,2016.4(第十二周可下载)

[3]杨威,高淑萍,《线性代数机算与应用指导》,西安,西安电子科技大学出版社,2009.4

[4]《实用大众线性代数》程序集

[5]陈怀琛,龚杰民,《线性代数实践及MATLAB入门》(第一版),北京,电子工业出版社,2005.10

[6]陈怀琛,吴大正,高西全,《MATLAB及其在电子信息课程中的应用》,北京,电子工业出版社,2002.6

[7]钱学森,回顾与展望,《老交大的故事》,江苏人民出版社,1989(第八周可下载)

[8]陈怀琛,数字滤波器的信号流图方程和计算机求解,信号处理,Vol.19,2003(第十一周可下载)

[9]陈怀琛,论工科线性代数的现代化与大众化,《高等数学研究》,第15卷第[82期,2012年2月,西安(第九周可下载)

[10]陈怀琛,复杂线性控制系统化简的矩阵方法,中国控制大会,CCC2010,2010.10(第十一周可下载)