武汉理工大学

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课程概述

    “经济数学是高等学校经济管理类等专业的一门重要基础课程。本课程以经济数学微积分、经济数学线性代数、经济数学概率论与数理统计等课程内容为主线,以数学实验,经济数学建模,数学方法与创意为三条支线构成经济数学基础课内容的体系结构。强调基础,重视应用,形成数学与经济有机结合,传统与现代适当结合,分层教学的课程内容和体系。


    《线性代数》课程是高等学校理工科以及经管各专业学生的一门必修的重要基础理论课,也是硕士研究生入学全国统一考试中必考的数学课程之一。它广泛应用于科学技术的各个领域。本课程主要研究有限维空间的线性关系理论问题,主要讲授行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换、向量组的线性相关性、矩阵的相似变换、二次型等内容。该课程所体现的几何观念与代数方法之间的联系、从具体概念抽象出来的公理化方法、以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等,对于强化学生的数学训练,培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观和想象能力具有重要的作用。        


    由于线性关系问题广泛存在于科学技术的各个领域,许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。因此,作为离散化和数值计算理论基础的线性代数,成为解决实际问题的强有力的数学工具。在计算机广泛应用和大数据蓬勃发展的今天,理工各专业和经管等专业必须掌握矩阵语言和向量语言,利用矩阵运算对现实问题进行简洁描述与求解。因此,本课程的作用显得更为重要。通过对本课程的学习,可以培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数值计算能力和空间想象能力。学生能并为进一步学习后继课程和将来的工作实践奠定必要的数学基础。


 




授课目标
通过本课程的学习,为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。此外,本课程提供大量的线性代数拓展案例,通过这些案例可以训练同学们学习线性代数、运用线性代数理论、培养线性代数和矩阵思维的能力,真正运用到将来同学们的专业学习中。
证书要求

    本课程的学习环节包含:通过课程导学与相关资源进行课前预习、观看讲课视频及其它课程拓展资源、完成每周单元测验、参加期末考试。

    课程学习成绩由两部分构成:

1)单元测验:在每一周学习结束后,将有一次单元测验,题型为选择题,所有单元测验分数占课程成绩的30%

2)课程考试:课程结束后,学生可以参加课程的最后考试,成绩占70%

完成课程学习并考核合格(>=60)的可获得合格证书,成绩优秀(>80)的可获得优秀证书。


预备知识

中学数学

授课大纲


知识单元一:线性方程组的消元法和矩阵的初等变换 

第1周:线性方程组的消元法 矩阵的初等变换 

教学内容:线性方程组的概念,线性方程组的线性运算,线性方程组的消元法;矩阵的概念,矩阵的初等变换,行阶梯形矩阵,行最简行矩阵,标准形。

教材章节:§1.1  线性方程组的消元法

          §1.2  矩阵的初等变换

教学重点:线性方程组的消元法,矩阵的初等变换。

教学难点:用消元法求解线性方程组,初等变换化矩阵为行阶梯形和行最简形。


知识单元二:行列式 克拉默法则

第2周:行列式的定义和性质 

教学内容:2阶和3阶行列式,排列,n阶行列式的定义和性质.

教材章节: §2.1  二阶和三阶行列式

           §2.2  排列

           §2.3  n阶行列式的定义和性质

教学重点:n阶行列式的定义和性质。

教学难点: 利用性质计算n阶行列式。

第3周:行列式的展开和计算,克拉默法则

教学内容:行列式的按行按列展开定理及推论,克拉默法则。

教材章节: §2.4  行列式的展开和计算

           §2.5  克拉默法则

教学重点: 行列式的展开公式及推论的证明。

教学难点:行列式的展开公式及推论的证明,利用展开公式计算行列式。


知识单元三:矩阵的运算

第4周:矩阵的概念与运算 逆矩阵

教学内容:矩阵的概念与线性运算、矩阵的乘法、特殊矩阵,方阵乘积的行列式, 逆矩阵

教材章节:§3.1  矩阵的概念及运算

          §3.2  特殊矩阵 方阵乘积的行列式

          §3.3  逆矩阵

教学重点:矩阵的乘法,特殊矩阵及性质、方阵乘积的行列式及性质、逆矩阵的定义、运算与性质, 

          利用逆矩阵解矩阵方程

教学难点:矩阵乘法、伴随矩阵的计算、逆矩阵的性质与计算。

第5周:分块矩阵 初等矩阵 矩阵的秩

教学内容: 分块矩阵的定义、运算;初等矩阵的定义、性质、应用;矩阵的秩定义、性质。

教材章节: §3.4  分块矩阵

           §3.5  初等矩阵

教学重点: 特殊分块方法、初等矩阵的应用、矩阵的秩的定义和性质。

教学难点: 分块矩阵的乘法; 矩阵可逆的性质; 矩阵的秩的不等式。


知识单元四:线性方程组的理论

第6周:线性方程组有解的条件、向量组的线性相关性

教学内容:线性方程组有解的条件,向量组的线性相关、线性无关。

教材章节:§4.1  线性方程组有解的条件

          §4.2  n维向量及其线性运算

          §4.3  向量组的线性相关性

教学重点:线性方程组有解的条件、向量组的线性组合,向量组的线性相关与线性无关。

教学难点:线性方程组有解的条件,向量组的线性相关性有关的定理、证明。

第7周:向量组的秩、线性方程组解的结构

教学内容:向量组的秩、齐次线性方程组解的结构、非齐次线性方程组解的结构。

教材章节:§4.4  向量组的秩

          §4.5  线性方程组解的结构

教学重点:向量组的最大无关组的概念,向量组的等价概念、基础解系的计算、线性方程组解的结构。

教学难点:向量组的最大无关组的概念,向量组的等价概念、基础解系的计算、线性方程组解的结构。


知识单元五:特征值和特征向量 矩阵的对角化

第8周:预备知识 特征值和特征向量

教学内容:向量的内积、施密特正交化方法、特征值和特征向量。

教材章节:§5.1  预备知识

          §5.2  特征值和特征向量

教学重点:向量的内积、正交矩阵、施密特正交化方法,特征值和特征向量的计算、性质。

教学难点:施密特正交化方法、特征值和特征向量的计算、性质。

第9周:相似矩阵 实对称矩阵的相似矩阵

教学内容:相似矩阵,矩阵可对角化的充要条件,实对称矩阵的相似矩阵。

教材章节:§5.3  相似矩阵

          §5.4  实对称矩阵的相似矩阵

教学重点:相似矩阵的定义、矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质、实对称矩阵

          的对角化方法。

教学难点:矩阵可对角化的条件、实对称矩阵的特征值和特征向量的性质、实对称矩阵的相似对角化。


知识单元六: 二次型

第10周:二次型

教学内容:二次型的定义、化二次型为标准形、惯性定理和二次型的正定性。

教材内容:§6.1  二次型及其矩阵表示 矩阵合同

          §6.2  化二次型为标准形

          §6.3  惯性定理和二次型的正定性

教学重点: 正交变换法化二次型为标准形。

教学难点: 矩阵合同的定义、正交变换法化二次型为标准形、二次型的正定性判断。


参考资料

1.经济数学-线性代数,吴传生主编,高等教育出版社,2016年第3版.

2.经济数学-线性代数 学习辅导与习题选讲,吴传生主编,高等教育出版社,2016年第三版.

3.Linear algebra with applications,Steven J.Leon主编,机械工业出版社,2011年第8版.

4.Linear Algebra and Its Applications, C. Lay, Pearson Education出版社, 2012年第4版.

5.线性代数,同济大学数学系编,高等教育出版社, 2014年第6版.

6.线性代数,居余马等编著,清华大学出版社,2013年第2版.

常见问题

Q1: 为什么要学习经济数学?

1.它是重要的基础理论课。它为后续课程学习提供理论基础和研究工具。数学意识、数学原理、数学方法是一切创造发明的基础。
2.开发智力。数学除了锻炼敏锐的理解力、发现真理以外,还有训练全面考查科学系统的头脑的开发功能。数学为组织和构造知识提供方法,以致当用于技术时,就能使科学家和工程师们生产出系统的、能复制的、并且是可以传播的知识。
3.数学是一门美学。它是大脑思考所产生的思想结构上的精神美。数学美在于她的简洁美、对称美、和谐美、奇异美。例如:i^2+1=0。

 Q2:学什么?

1.初等数学:有限量、常量、有限和、匀速直线运动速度等;
2.高等数学:无穷量、变量、无穷项之和、变速运动瞬时速度、任意图形的面积、体积等。

Q3: 怎么学?
  预习——听课、作笔记——复习(看书、做作业)

Q4:《经济数学——线性代数》课程的特色是什么?

    经济数学——微积分是武汉理工大学经济管理类各专业的一门重要基础课程,是全国硕士研究生入学统一考试的主要课程。武汉理工大学《经济数学》(包含经济数学——线性代数)是国家精品课程、国家精品资源共享课程,有教学视频、教学课件、教学案例、专家讲座等丰富的网络学习资源和网络互动平台,便于教师开展教学改革,同时利于学生进行自主学习。
    根据经济、管理类专业特点组织教学,以数学为主,将数学和经济有机结合,适当引入近代内容,加强学生运用知识解决实际问题能力的训练。加强现代教学手段的运用,将数学建模思想和数学实验思想贯穿于线性代数教学始终,建立了以课堂教学为中心,以自主性学习研究型学习为辅的资源丰富的立体化学习体系。