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课程概述

微积分起源于17世纪后半叶,基本完成于19世纪。其诞生具有划时代的意义,是数学史上的分水岭和转折点。恩格斯称之为“17世纪自然科学的三大发明之一”。无论是对数学还是对其它科学技术的发展都影响深远。


自微积分诞生后的三百多年来,每一世纪都证明了微积分在阐明和解决来自数学、物理学、工程科学以及经济学、管理科学、社会学和生物科学等方面问题中的强大威力。诸如航海造船业的兴起,机械制造业的发展,卫星和宇宙飞船的发射,高速动车的运行,现代通信技术的发展,经济学中的弹性分析,生物数学的发展等都与微积分有着密切联系。


本课程系统地介绍了微积分的基础理论和基本方法,其内容主要包括:函数、极限与连续,一元函数微分学,一元函数积分学,常微分方程,多元函数微分学,多元函数积分学,无穷级数等。


为方便广大学习者,我们将课程分为四个部分。其中,微积分(二)主要介绍了一元函数积分学和常微分方程,共二章。


证书要求

本课程的学习包括:观看讲课视频、随堂测验、单元测验、参与课程讨论和期末考试。

完成课程学习并考核合格(>=60分)的可获得合格证书,成绩优秀(>=85分)的可获得优秀证书。


预备知识

微积分(一):函数、极限与连续及一元函数微分学。

授课大纲

第三章 一元函数积分学

3.1 定积分的概念与性质

一、引例

二、定积分的定义

三、函数可积的充分条件

四、定积分的几何意义

五、定积分的性质

3.2 微积分基本定理

一、积分上限的函数

二、微积分基本定理

3.3 不定积分的概念与性质

一、不定积分的概念

二、不定积分的几何意义

三、不定积分的性质

四、基本积分公式

3.4 换元积分法

一、不定积分的换元积分法

二、定积分的换元积分法

3.5 分部积分法

一、不定积分的分部积分法

二、定积分的分部积分法

3.6 有理函数的积分

一、有理函数的积分

二、三角函数有理式的积分

3.7 反常积分

一、无穷区间上的反常积分

二、无界函数的反常积分

三、函数与函数

3.8 定积分的几何应用

一、微元法

二、求平面图形的面积

三、求体积

3.9 定积分的物理应用

一、功

二、引力

三、液体的压力

四、函数的平均值与均方根

第四章 常微分方程

4.1 微分方程的基本概念

一、引例

二、基本概念

4.2 一阶微分方程

一、可分离变量的方程

二、齐次方程

三、一阶线性方程

4.3 可降阶的高阶微分方程

一、

二、

三、

4.4 二阶齐次线性方程

一、二阶齐次线性方程解的性质与结构

二、二阶常系数齐次线性方程的解法

4.5 二阶非齐次线性方程

一、二阶非齐次线性方程解的性质与结构

二、二阶常系数非齐次线性方程的解法

三、欧拉方程

参考资料

1. 微积分,傅英定,等.高等教育出版社,2009.6.

  “十一五”国家级规划教材

2. 微积分学习指导教程.傅英定,等.高等教育出版社,2013.8.

3. 高等数学(第七版).同济大学数学系.高等教育出版社,2014.07.

4. calculus,Dalevarberg.机械工业出版社,2002.