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课程概述

微积分起源于17世纪后半叶,基本完成于19世纪。其诞生具有划时代的意义,是数学史上的分水岭和转折点。恩格斯称之为“17世纪自然科学的三大发明之一”。无论是对数学还是对其它科学技术的发展都影响深远。


自微积分诞生后的三百多年来,每一世纪都证明了微积分在阐明和解决来自数学、物理学、工程科学以及经济学、管理科学、社会学和生物科学等方面问题中的强大威力。诸如航海造船业的兴起,机械制造业的发展,卫星和宇宙飞船的发射,高速动车的运行,现代通信技术的发展,经济学中的弹性分析,生物数学的发展等都与微积分有着密切联系。


本课程系统地介绍了微积分的基础理论和基本方法,其内容主要包括:函数、极限与连续,一元函数微分学,一元函数积分学,常微分方程,多元函数微分学,多元函数积分学,无穷级数等。


为方便广大学习者,我们将课程分为四个部分。其中,微积分(一)主要介绍了函数、极限与连续及一元函数微分学,含二章,共22讲。

证书要求

本课程的学习包括:观看讲课视频、随堂测验、单元测验、参与课程讨论和期末考试。

完成课程学习并考核合格(>=60分)的可获得合格证书,成绩优秀(>=85分)的可获得优秀证书。

预备知识

高中数学知识

授课大纲

第一章 函数 极限与连续

1.1 映射与函数

一、集合 区间与邻域

二、映射

三、函数的概念

四、函数的运算 反函数

五、具有某种特性的函数

六、基本初等函数 初等函数

七、建立函数关系式举例

1.2 极限的概念

一、数列的极限

二、当自变量趋于无穷大时函数的极限

三、当自变量趋于有限值时函数的极限

四、单侧极限

五、数列极限与函数极限的关系

1.3 无穷小量 无穷大量

一、无穷小量与无穷大量的概念

二、无穷小量与无穷大量的关系

三、无穷小的运算性质

四、函数及其极限与无穷小之间的关系

1.4 极限的性质及运算法则

一、极限的性质

二、极限的运算法则

1.5 极限存在法则 两个重要极限

一、夹逼准则 

二、单调有界准则  

三、无穷小的比较

1.6 连续函数

一、连续性的概念

二、函数的间断点

三、连续函数的性质与运算

四、初等函数的连续性

五、闭区间连续函数的性质


第二章 一元函数微分学

2.1 导数的概念

一、引例

二、导数的定义

三、单侧导数

四、导数的几何意义

五、函数可导与连续的关系

六、导数在实际问题中的应用

2.2 导数的运算法则

一、导数的四则运算法则

二、反函数的求导法则

三、复合函数的求导法则

四、导数的基本公式

2.3 隐函数及参数式函数的导数

一、隐函数的导数

二、参数式函数的导数

三、相关变化率问题

2.4 高阶导数

2.5 函数的微分

一、微分的概念

二、微分的运算法则

三、函数的线性近似

2.6 微分中值定理

一、函数的极值及其必要条件

二、微分中值定理

2.7 不定型的极限

一、0/0型与∞/

二、其他不定型

2.8 泰勒公式

一、泰勒公式

二、几个常用的麦克劳林公式

三、泰勒公式的应用

2.9 函数的单调性与极值

一、函数单调性的判定法

二、函数极值的判定法

三、最大值与最小值问题

2.10 函数的凸性与曲线的拐点

2.11 函数作图

一、曲线的渐近线

二、函数作图

2.12 曲线的曲率

一、弧微分

二、曲率

参考资料

1. 微积分,傅英定,等.高等教育出版社,2009.6.

  “十一五”国家级规划教材

2. 微积分学习指导教程.傅英定,等.高等教育出版社,2013.8.

3. 高等数学(第七版).同济大学数学系.高等教育出版社,2014.07.

4. calculus,Dalevarberg.机械工业出版社,2002.