电子科技大学

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课程概述

     中国大学先修课程——线性代数与空间解析几何,旨在让学有余力的高中生及早接触大学课程内容,接受大学思维方式、学习方法的训练,让学生真正享受到最符合其能力水平和兴趣的教育,帮助其为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备

线性代数中常用的公理化定义、特有的理论体系、严格的推理论证及抽象的思维方法都有它自身的特色,具有其他课程无法取代的作用,特别是随着计算机的飞速发展与广泛应用,许多实际问题可以离散化、线性化,从而转化为线性代数问题,更进一步显示其特殊重要的地位,成为科技人才必备的数学基础。同时本课程对于培养学生的抽象思维能力、空间想象能力、逻辑推理能力、科学计算能力,以及建立数学模型解决实际问题的能力都有十分重要的意义。

    为方便广大学习者,我们将每讲内容分成了若干小片段,一个片段讲解1~2个知识点,便于学习者理解掌握。针对每一讲的教学内容都配有一定量的练习题。

 


证书要求

  本课程的学习环节包含:观看讲课视频、完成每讲的练习题、完成单元测验题、参与课程讨论、参加期末考试。

  课程学习成绩由两部分构成:

 (1)单元测验:在每一章学习结束后,将有一次单元测验,题型为选择题,所有单元测验分数占课程成绩的40%。

 (2)课程考试:课程结束后,学生可以参加课程的最后考试,成绩占60%。

   完成课程学习并参加考试可获得证书。证书分两种等级:总评成绩在60分至84分为合格证书,总评成绩在85分至100分为优秀证书。

 

 

预备知识

高中毕业所要求的数学知识。

授课大纲

 

第一章 矩阵及其初等变换

第一讲 矩阵及其运算

一、矩阵的概念

二、矩阵的线性运算

三、矩阵乘法的定义

四、矩阵乘法的运算规律

五、方阵的幂与多项式

六、矩阵的转置

七、对称矩阵与反对称矩阵

第二讲 高斯消元法与矩阵的初等变换

一、线性方程组与同解变换

二、矩阵的初等变换与高斯消元法

三、矩阵等价

四、初等矩阵

第三讲 逆矩阵

一、逆矩阵的概念

二、逆矩阵的性质

三、矩阵可逆的充要条件

四、用初等行变换求逆矩阵

第四讲 分块矩阵

一、分块矩阵的概念

二、分块矩阵的运算

第五讲 习题课

一、第一章习题课1

二、第一章习题课2

第二章 行列式

第一讲 n阶行列式的定义

一、一阶、二阶和三阶行列式

二.n阶行列式的定义

三、用定义计算n阶行列式

第二讲 行列式的性质与计算

一、行列式的性质1—性质3

二、行列式的性质4、性质5

三、行列式的计算

四、方阵乘积的行列式

五、几个补充例题

第三讲 拉普拉斯(Laplace)展开定理

一、k阶子式、余子式、代数余子式

二、拉普拉斯定理

第四讲 克拉默法则

一、逆矩阵的一个简明表达式

二、克莱姆法则

第五讲 矩阵的秩

一、矩阵秩的概念

二、基本结论与性质

三、矩阵秩的计算

四、矩阵的标准形(分解)

第六讲 习题课

一、第二章习题课1

二、第二章习题课2

 

第三章 几何空间

第一讲 空间直角坐标系与向量

一、空间直角坐标系

二、向量及其线性运算

三、向量在轴上的投影

四、向量线性运算的几何意义

五、向量的方向余弦

六、内容小结

第二讲 向量的乘法

一、内积

  1.内积的概念与性质

  2.内积的坐标形式

二、外积

  1.外积的概念与性质

  2.外积的坐标形式

三、混合积

  1.混合积的概念与性质

  2.混合积的几何意义

四、内容小结

第三讲 平面

一、平面的方程

  1. 点法式方程

  2. 一般式方程

  3. 截距式方程

二、平面与平面的位置关系

三、内容小结

第四讲 空间直线

一、空间直线的方程

  1.  点向式方程

  2.  参数式方程

  3.  一般式方程

二、点到直线的距离

三、直线与直线的位置关系

四、直线与平面的位置关系

五、内容小结

第五讲 第三章习题课

 一、第三章习题课1

 二、第三章习题课2

 

第四章 n维向量空间

第一讲 n维向量空间的概念

一、n维向量空间的概念

二、n维向量空间的子空间

三、内容小结

第二讲 向量组的线性相关性

一、向量组的线性组合

  1. 向量组与矩阵

  2. 线性组合、线性表出的概念

  3. 线性表出的充要条件和计算

二、向量组之间的线性表出

三、线性相关性的概念

四、线性相关性的判定

五、内容小结

第三讲 向量组的秩

一、秩与最大无关组的概念

二、矩阵的列秩和行秩

三、向量组间的线性表出和秩

四、最大无关组的性质、等价叙述

五、内容小结

第四讲 线性方程组的解的结构

一、齐次线性方程组

  1. 解的性质、基础解系的定义

  2. 基础解系的存在性与计算

  3. 计算实例

二、非齐次方程组

  1. 非齐次方程组解的性质

  2. 非齐次方程组求解实例

三、内容小结

第五讲 第四章习题课

  1.习题课1

  2.习题课2

 3.习题课3

 4.习题课4

 5.习题课5

 6.习题课6

 

第五章 特征值与特征向量

第一讲 特征值与特征向量的概念与计算

一、特征值与特征向量的定义

二、特征值与特征向量的判定

三、特征值与特征向量的计算

四、内容小结

第二讲 矩阵的相似对角化

一、相似对角化引例

二、相似的定义

三、相似对角化的判定

四、内容小结

第三讲 n维向量空间的正交性

一、内积与长度

二、三角不等式与Cauchy不等式

三、正交向量组与标准正交基

四、Gram-Schmidt正交化方法

五、正交矩阵

六、内容小结

第四讲 实对称矩阵的相似对角化

一、实对称矩阵的特征值与特征向量

二、实对称矩阵的正交对角化

三、内容小结

第五讲 第五章习题课

  1.习题课1

  2.习题课2

 3.习题课3

 

第六章 二次型与二次曲面

第一讲 实二次型及其标准形

一、二次型及其矩阵表示

二、矩阵的合同

三、用配方法化二次型为标准形

四、用正交变换化二次型为标准形

五、内容小结

第二讲 正定二次型

一、正定二次型的概念

二、正定二次型的性质

三、内容小结

第三讲 曲面与空间曲线

一、曲面

  1.柱面

  2.旋转曲面

二、空间曲线

  1.一般式方程

  2.参数式方程

  3.空间曲线在坐标面上的投影

三、内容小结

第四讲 二次曲面

一、二次曲面的标准方程与图形

  1.椭球面

  2.抛物面

  3.双曲面

二、化二次曲面为标准方程

三、内容小结

第五讲 第六章习题课

  1.习题课1

  2.习题课2

  3.习题课3

 

 

 

 

参考资料

 

       教学用书:国家“十二五”规划教材《线性代数与空间解析几何(第四版)》(黄廷祝,成孝予编),高等教育出版社,2015.9.

http://www.hepmall.com/index.php/product-21920.html


        学习参考书:《线性代数与空间解析几何学习指导教程》,黄廷祝  蒲和平 高等教育出版社 2015.9

http://www.hepmall.com/index.php/product-21922.html