同济大学

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课程概述

         高等数学课程的主要内容是微积分。从17世纪60年代牛顿、莱布尼茨创立微积分起,逐步形成了一门逻辑严密、系统完整的学科,它不仅成为其他许多数学分支的重要基础,而且在自然科学、工程技术、生命科学、社会科学、经济管理等众多领域都获得了十分广泛的应用,高等数学已成为大学理工类、经济管理类以及许多其他专业最重要的数学基础课。

       由同济大学数学教研室主编的《高等数学》于1978年出版,后根据各个时期的教学实际不断修订,影响了一代又一代的工科大学生,至今已出第7版,几十年来畅销不衰,广受读者欢迎。它是全国使用面最广、影响最大的一本高等数学教材,取得了良好的社会效益,被誉为“畅销不衰的品牌书”,在我国大学数学课程教学中发挥了重要的历史作用。第3版于1997年获普通高等学校国家级教学成果一等奖,曾被评为2008年度普通高等教育精品教材,第7版教材于2012年入选“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材 。

         由名师领衔,同济大学一线教师倾力打造的《高等数学》Mooc课程共分为四个部分:高等数学一(一元极限、连续、导数和微分及其应用),高等数学二(不定积分、定积分及其应用和常微分方程),高等数学三(空间解析几何、多元函数微分学),高等数学四(重积分、曲线曲面积分、级数)四个部分。本课程将为学习者提供课程的教学大纲、视频、电子教案、学习指导、在线测试等多种教学内容,具有较强的指导意义。

证书要求

课堂测试与作业占30%、讨论占10%、

期末考试占60%,按百分制计分,

60分至80分为合格、

80分以上至100分为优秀。

预备知识

中学阶段的初等数学知识

授课大纲


高等数学1

 

第一讲 函数与极限

    一、 函数与初等函数

    1.函数的概念

    2.函数的特性

    3.初等函数

    二、数列的极限

    1.数列的定义

    2.数列极限的定义

    3.收敛数列的性质

    三、 函数的极限

    1.自变量趋于有限值时函数的极限

    2.自变量趋于无穷大时函数的极限

    3.函数极限的性质

第二讲 极限运算法则

    四、无穷小与无穷大

    1.无穷小

    2.无穷大

    五、极限运算法则

    1.极限的四则运算法则

    2.复合函数的极限运算法则

第三讲 两个重要极限和无穷小的比较

    六、极限存在准则,两个重要极限

    1.夹逼准则

    2.第一重要极限

    3.单调有界准则

    4.第二重要极限

    七、无穷小的比较

    1.无穷小比较的定义

    2.等价无穷小的性质

第四讲 连续及其性质

    八、函数的连续性与间断点

    1.函数的连续性

    2.函数的间断点

    九、连续函数的运算与初等函数的连续性

    1.连续函数的四则运算的连续性

    2.反函数和复合函数的连续性

    3.初等函数的连续性

    十、闭区间上连续函数的性质

    1.最大值最小值定理与有界性定理

    2.零点定理与介值定理

第五讲 导数及其运算

    十一、导数的概念

    1.引例

    2.导数的定义

    3.导数的几何意义

    4.函数可导性与连续性的关系

    十二、函数的求导法则

    1.函数的和、差、积、商的求导法则

    2.反函数的求导法则

    3.复合函数的求导法则

第六讲 高阶导数、隐函数与参数方程的导数

    十三、高阶导数

    1.高阶导数的定义

    2.高阶导数的求法

    十四、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

    1.隐函数的导数

    2.由参数方程所确定的函数的导数

第七讲 微分的概念与微分中值定理

    十五、函数的微分

    1.微分的定义

    2.微分的几何意义

    3.基本初等函数的微分公式与微分运算法则

    十六、微分中值定理与导数的应用

    1.罗尔定理

    2.拉格朗日中值定理

    3.柯西中值定理

第八讲 洛必达法则与泰勒公式

    十七、洛必达法则

    1.用洛必达法则求“0/0”的未定式

    2.用洛必达法则求“∞/∞”的未定式

    3.用洛必达法则求其他类型的未定式

    十八、泰勒公式

    1.带皮亚诺余项的泰勒公式

    2.带拉格朗日余项的泰勒公式

第九讲 函数的单调性,凹凸性,极值与最值

    十九、函数的单调性与曲线的凹凸性

    1.函数单调性的判断

    2.曲线的凹凸性和拐点

    二十、函数的极值与最大值最小值

    1.函数的极值及其求法

    2.最大值最小值问题

第十讲 函数图形的描绘与曲率

    二十一、函数图形的描绘

    二十二、曲率

    1.弧微分

    2.曲率及其计算公式

    3.曲率圆与曲率半径


 

参考资料

教材与教学参考书

教材:《高等数学》(第七版)上、下册,同济大学数学系主编,高等教育出版社

参考书:

1. 《微积分》(第三版)上、下册,同济大学数学系编,高等教育出版社

2. 《工科数学分析基础》上、下册,马知恩、王绵森主编,高等教育出版社

3. 《数学分析》上、下册,复旦大学陈传璋等编,高等教育出版社

4. 《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编,高等教育出版社

5. 《高等数学例题与习题》 同济大学高等数学教研室编,同济大学出版社

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