课程概述

"概率论与数理统计"是工科类各专业必修的一门重要的基础理论课程,旨在用严密的数学方法研究随机现象及其内在的客观规律性,也是一门有着非常强的应用性的学科。概率论的思想以及常见统计分析方法已经被广泛应用于自然科学及社会科学的各个领域。本课程的授课要点分五大部分来介绍概率统计的基本理论和思想:第一部分介绍随机事件及其概率。主要内容包括随机事件的基本概念和性质、随机事件之间的相互关系和运算;概率的公理化定义及其性质;古典概率、二项概率、全概率公式以及贝叶斯公式等基本模型的概率意义和运算方法。第二部分介绍离散型和连续型两大类随机变量的基本概念及其分布。主要内容包括分布函数、概率函数、概率密度函数以及随机变量函数的分布;介绍一维二维常见分布类型,包括0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布、指数分布等以及它们各自的性质。第三部分介绍随机变量的数字特征。主要内容包括数学期望、方差和标准差、协方差、相关系数以及它们的主要性质。第四部分介绍随机变量序列的极限。主要内容包括独立同分布情形下的大数定律和中心极限定理。第五部分介绍数理统计的入门基础知识。其中基本概念部分包括统计量及其性质、常用三大分布及性质、常见抽样分布;基本方法包括参数估计和检验,具体是求未知参数点估计的矩估计法和极大似然估计法、求未知参数的置信区间估计方法、未知参数的假设检验等等基本思想和方法。本课程还将设置一系列配套辅助学习材料,包括自我练习单元、阶段自测题、每章节的总结归纳、思考题等等。

通过本课程学习,系统掌握概率论和统计学的基本理论,并对常用的统计方法有初步的了解和掌握培养学习者解决实际问题的能力,并为需者进一步学习相关统计课程奠定良好的理论基础。


证书要求
  1. 完成所有课程学习;

  2. 完成课程视频中的各类测试题;(50%)

  3. 完成至少70%的单元作业;(30%)

  4. 完成至少一次分享报告;可以在线分享,也可以递交学习报告;(20%)

总评达到60分及以上者视为合格通过、取得证书;总分达到85分及以上者可获得优秀学员证书,但总优秀率不得超过30%.

预备知识

微积分基本理论知识

授课大纲

第一周  随机事件与概率(1)

 一、随机事件

   1.样本空间和随机事件

   2.随机事件之间的关系和运算

 二、等可能概型

   1.古典概型

   2.几何概型

 三、频率与概率

   1.频率与概率

第二周  随机事件与概率(2)

 四、概率的公理化定义及性质

   1.概率的公理化定义及性质

 五、条件概率与随机事件的独立性

   1.条件概率

   2.随机事件的独立性及贝努利概型

 六、全概率公式与贝叶斯公式

   1.全概率公式与贝叶斯公式

第三周  离散型随机变量及其分布(1)

 七、随机变量

   1.随机变量的定义

 八、概率函数

   1.离散型随机变量的概率函数

 九、常用离散型随机变量

   1.常用离散型随机变量及其分布(1)

   2.常用离散型随机变量及其分布(2)

第四周  离散型随机变量及其分布(2)

 十、二维随机变量及其分布

   1.二维离散型随机变量及其分布

 十一、随机变量的独立性和条件分布

   1.随机变量的独立性和条件分布

 十二、随机变量函数的分布

   1.离散型随机变量函数的分布

   2.分布可加性

第五周  一维连续型随机变量及其分布

 十三、基本概念

   1.引入

   2.一维分布函数及其性质

   3.概率密度函数(1)

   4.概率密度函数(2)

 十四、常见一维连续型分布

   1.均匀分布和指数分布

   2.正态分布(1)

   3.正态分布(2)

 第六周  二维连续型随机变量及其分布

 十五、二维连续型随机变量

   1.二维分布函数及性质

   2.联合密度函数及两个常见分布

 十六、二维连续型分布

   1.边缘密度函数

   2.随机变量的相互独立性

   3.条件密度函数

第七周  随机变量函数的分布 

 十七、一维随机变量函数的分布

   1.一维随机变量函数的分布

 十八、二维随机变量函数的分布

   1.随机变量和的分布

   2.特定情形下的函数的分布

第八周  随机变量的数字特征(1)

十九、数学期望及其性质

1.数学期望的定义

2.数学期望的应用

3.常见分布的数学期望

4.随机变量函数的数学期望

5.数学期望的性质

 

第九周  随机变量的数字特征(2)

二十、方差及其性质

    1.方差的定义及常见分布的方差

    2.方差的性质

二十一、协方差和相关系数

1.协方差

2.相关系数及不相关与相互独立的关系

 

第十周  随机变量的数字特征(3),极限定理

二十二、矩和切比雪夫不等式

1.矩和切比雪夫不等式

二十三、极限定理

      1.依概率收敛

2.大数定律

3.中心极限定理


第十一周  数理统计的基本概念

 二十四、总体与样本

   1.总体与样本

 二十五、 统计量

   1.统计量的定义及常用统计量

   2.常用统计量的性质

 二十六、三大分布

   1.卡方分布

   2.t分布

   3.F分布

 二十七、正态总体的抽样分布

   1.单正态总体的情形

   2.双正态总体的情形 

第十二周 参数的点估计

 二十八、点估计的定义

   1.点估计的定义

 二十九、矩估计

   1.矩估计

 三十、极大似然估计

   1.极大似然估计(1) 

   2.极大似然估计(2) 

 三十一、估计量的评判标准

   1.无偏性

   2.有效性

   3.相合性 

第十三周 参数的置信区间

 三十二、置信区间的定义

   1.置信区间的定义

 三十三、正态总体下未知参数的置信区间

   1.单正态总体的情形

   2.双正态总体的情形 

第十四周 参数的假设检验

 三十四、假设检验的原理

   1.假设检验的原理

   2.显著性水平检验法

 三十五、正态总体下未知参数的假设检验

   1.单正态总体的情形

 


参考资料

概率统计(第五版),同济大学概率统计教研组编著,同济大学出版社,2013

概率论与数理统计同步习题册,同济大学数学系编,同济大学出版社,2016

工程数学-概率统计简明教程(第二版),同济大学数学系编,高等教育出版社,2012

概率统计简明教程附册学习辅导与习题全解(第二版),同济大学数学系编,高等教育出版社,2012