同济大学

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课程概述

        高等数学课程的主要内容是微积分。从17世纪60年代牛顿、莱布尼茨创立微积分起,逐步形成了一门逻辑严密、系统完整的学科,它不仅成为其他许多数学分支的重要基础,而且在自然科学、工程技术、生命科学、社会科学、经济管理等众多领域都获得了十分广泛的应用,高等数学已成为大学理工类、经济管理类以及许多其他专业最重要的数学基础课。

    由同济大学数学教研室主编的《高等数学》于1978年出版,后根据各个时期的教学实际不断修订,影响了一代又一代的工科大学生,至今已出第7版,几十年来畅销不衰,广受读者欢迎。它是全国使用面最广、影响最大的一本高等数学教材,取得了良好的社会效益,被誉为“畅销不衰的品牌书”,在我国大学数学课程教学中发挥了重要的历史作用。第3版于1997年获普通高等学校国家级教学成果一等奖,曾被评为2008年度普通高等教育精品教材,第7版教材于2012年入选“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材 。

         由名师领衔,同济大学一线教师倾力打造的《高等数学》Mooc课程共分为四个部分:高等数学一(一元极限、连续、导数和微分及其应用),高等数学二(不定积分、定积分及其应用和常微分方程),高等数学三(空间解析几何、多元函数微分学),高等数学四(重积分、曲线曲面积分、级数)四个部分。本课程将为学习者提供课程的教学大纲、视频、电子教案、学习指导、在线测试等多种教学内容,具有较强的指导意义。


证书要求

课堂测试与作业占30%、讨论占10%、期末考试占60%,按百分制计分,60分至80分为合格、80分以上至100分为优秀。

预备知识

中学阶段的初等数学知识以及高等数学(一)的知识


授课大纲


高等数学2


第一讲 不定积分的概念和性质
    一、原函数与不定积分的概念
       1.原函数的定义
       2.原函数概念的说明
       3.不定积分的定义
       4.不定积分举例
    二、不定积分的性质与基本积分表
       1.不定积分与导数的关系
       2.基本积分表
       3.不定积分的基本运算性质
       4.简单不定积分的计算举例
第二讲 不定积分的换元和分部积分法
    三、不定积分的第一类换元法
       1.第一类换元公式
       2.第一类换元法举例
    四、不定积分的第二类换元法
       1.第二类换元公式 
       2.第二类换元法举例 
    五、不定积分的分部积分法
       1.不定积分的分部积分公式
       2.分部积分法举例
第三讲 三角函数和有理函数的不定积分
    六、有理函数的不定积分
       1.有理函数
       2.真分式的分解
       3.有理函数的积分举例
       4.可以化为有理函数的积分举例 

    七、三角函数的不定积分    
第四讲 定积分的概念和性质
     八、定积分的概念
       1.定积分问题举例
       2.定积分的定义
       3.定积分的几何意义
       4.定积分存在的条件
     九、定积分的性质
       1.定积分的线性性质
       2.定积分对区间的可加性
       3.定积分的不等式性质
       4.定积分的中值定理
     十、积分上限函数及其导数
       1.速度与位置函数的关系
       2.积分上限函数
       3.积分上限函数的导数
       4.积分上限函数的导数举例
第五讲 定积分的计算
     十一、牛顿-莱布尼茨公式
       1.牛顿-莱布尼茨公式
       2.牛顿-莱布尼茨公式的简单应用
     十二、定积分的换元法
       1.定积分的换元公式
       2.定积分的换元法举例
     十三、定积分的分部积分法
       1.定积分的分部积分公式
       2.分部积分法举例
第六讲 反常积分
     十四、定积分的近似计算
       1.矩形法
       2.梯形法
       3.抛物线法(辛普森法)
     十五、反常积分
       1.无穷区间上的反常积分
       2.无穷区间上的反常积分举例
       3.无界函数的反常积分
       4.无界函数的反常积分举例
第七讲 定积分的几何应用
     十六、定积分的元素法
     十七、定积分的几何应用举例
       1.平面图形的面积
       2.体积
       3.平面曲线的弧长
第八讲 定积分的物理应用
     十八、定积分的物理应用举例
       1.变力沿直线所作的功
       2.水压力
       3.引力
第九讲 一阶微分方程的计算
       十九.微分方程的基本概念

       1.引例

       2.微分方程的定义

       3.微分方程的解

       4.微分方程的几何意义
       二十.可分离变量的微分方程
       二十一.齐次方程

       1.齐次方程

      2.可化为齐次方程的方程

       二十二.一阶线性微分方程

       1.线性方程

       2.伯努利方程

第十讲 二阶微分方程的计算
       二十三.可降阶的高阶微分方程

       1.y^(n)=f(x)型的微分方程

       2.y''=f(x,y')型的微分方程

       3.y''=f(y,y')型的微分方程

       二十四.高阶线性微分方程

       1.函数组的线性相关与线性无关

       2.线性微分方程的一般形式

       3.齐次线性微分方程的解的结构

       4.非齐次线性微分方程的解的结构
       二十五.常系数齐次线性微分方程

       1.二阶常系数齐次线性微分方程

       2.n阶常系数齐次线性微分方程

       二十六.常系数非齐次微分方程

       1.f(x)=e^axP_m(x)型

       2.f(x)=e^ax[P_l(x)coswx+Q_n(x)sinwx]型


参考资料

教材与教学参考书

教材:《高等数学》(第七版)上、下册,同济大学数学系主编,高等教育出版社

参考书:

1. 《微积分》(第三版)上、下册,同济大学数学系编,高等教育出版社

2. 《工科数学分析基础》上、下册,马知恩、王绵森主编,高等教育出版社

3. 《数学分析》上、下册,复旦大学陈传璋等编,高等教育出版社

4. 《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编,高等教育出版社

5. 《高等数学例题与习题》 同济大学高等数学教研室编,同济大学出版社