同济大学

高等数学(四)

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课程概述

         高等数学课程的主要内容是微积分。从17世纪60年代牛顿、莱布尼茨创立微积分起,逐步形成了一门逻辑严密、系统完整的学科,它不仅成为其他许多数学分支的重要基础,而且在自然科学、工程技术、生命科学、社会科学、经济管理等众多领域都获得了十分广泛的应用,高等数学已成为大学理工类、经济管理类以及许多其他专业最重要的数学基础课。

       由同济大学数学教研室主编的《高等数学》于1978年出版,后根据各个时期的教学实际不断修订,影响了一代又一代的工科大学生,至今已出第7版,几十年来畅销不衰,广受读者欢迎。它是全国使用面最广、影响最大的一本高等数学教材,取得了良好的社会效益,被誉为“畅销不衰的品牌书”,在我国大学数学课程教学中发挥了重要的历史作用。第3版于1997年获普通高等学校国家级教学成果一等奖,曾被评为2008年度普通高等教育精品教材,第7版教材于2012年入选“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材 。

         由名师领衔,同济大学一线教师倾力打造的《高等数学》Mooc课程共分为四个部分:高等数学一(一元极限、连续、导数和微分及其应用),高等数学二(不定积分、定积分及其应用和常微分方程),高等数学三(空间解析几何、多元函数微分学),高等数学四(重积分、曲线曲面积分、级数)四个部分。本课程将为学习者提供课程的教学大纲、视频、电子教案、学习指导、在线测试等多种教学内容,具有较强的指导意义。


证书要求

课堂测试与作业占30%、讨论占10%、期末考试占60%,按百分制计分,60分及以上为合格,80分及以上为优秀。

预备知识

中学阶段的初等数学知识以及高等数学(一),高等数学(二),高等数学(三)的知识。

授课大纲

高等数学(四)

 

第一讲  二重积分
    一、二重积分的概念与性质
      1.二重积分的概念
      2.二重积分的性质
    二、二重积分的计算法
      1.直角坐标系下计算二重积分的方法
      2.直角坐标系下计算二重积分的例题
      3.极坐标系下计算二重积分的方法
      4.极坐标系下计算二重积分的例题

第二讲 三重积分及重积分的应用
    三、三重积分的概念和性质
      1.三重积分的定义
      2.三重积分的性质
      3.直角坐标系下三重积分的计算
      4.柱面坐标系下三重积分的计算
      5.球面坐标系下三重积分的计算
    四、重积分的应用
      1.曲面面积
      2.质心
      3.转动惯量
      4.引力

第三讲 曲线积分
    五、对弧长的曲线积分
      1.曲线形构件的质量
      2.对弧长的曲线积分的概念与性质
      3.对弧长的曲线积分的计算法
    六、对坐标的曲线积分
      1.变力沿曲线所做的功
      2.对坐标的曲线积分的概念与性质
      3.对坐标的曲线积分的计算法
      4.两类曲线积分的联系

第四讲 格林公式及其应用
    七、格林公式及其应用
      1.单连通区域
      2.边界曲线的方向
      3.格林公式
      4.曲线积分与路径无关
      5.二元函数的全微分求积

第五讲 曲面积分
    八、对面积的曲面积分
      1.对面积的曲面积分的概念与性质
      2.对面积的曲面积分的计算法
    九、对坐标的曲面积分
      1.曲面的侧
      2.流向曲面一侧的流量
      3.对坐标的曲面积分的概念和性质
      4.对坐标的曲面积分的计算法
      5.两类曲面积分之间的联系

第六讲 高斯公式与斯托克斯公式
    十、高斯公式
    十一、斯托克斯公式

第七讲 常数项级数
    十二、常数项级数的概念和性质
      1.常数项级数的概念
      2.收敛级数的基本性质
    十三、常数项级数的审敛法
      1.正项级数及其审敛法
      2.交错级数及其审敛法
      3.绝对收敛与条件收敛

第八讲 幂级数
    十四、幂级数
      1.函数项级数、幂级数的概念
      2.幂级数的收敛性
      3.幂级数的运算
      4.和函数的性质

第九讲 函数展开成幂级数及其应用
    十五、函数展开成幂级数
      1.泰勒级数的概念
      2.函数展开成幂级数的方法
    十六、函数的幂级数展开式的应用
      1.近似计算
      2.微分方程的幂级数解法
      3.欧拉公式

第十讲 傅里叶级数
    十七、以2π为周期的函数的傅里叶级数
      1.三角级数及三角函数系的正交性
      2.函数展开成傅里叶级数
      3.正弦级数与余弦级数
    十八、一般周期函数的傅里叶级数

 

     

   

参考资料

教材与教学参考书

教材:《高等数学》(第七版)上、下册,同济大学数学系主编,高等教育出版社

参考书:

1. 《微积分》(第三版)上、下册,同济大学数学系编,高等教育出版社

2. 《工科数学分析基础》上、下册,马知恩、王绵森主编,高等教育出版社

3. 《数学分析》上、下册,复旦大学陈传璋等编,高等教育出版社

4. 《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编,高等教育出版社

5. 《高等数学例题与习题》 同济大学高等数学教研室编,同济大学出版社