线性代数及其应用
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spContent=线性代数将几何观点与代数思想相结合,它通过抽象把一些具有共性的问题化归为一类问题,以通性求通解。它将理论、应用和计算完美地融合,应用广泛而重要。让我们一起来揭开线性代数的抽象面纱,领略线性代数的强大应用魅力吧!
—— 课程团队
课程概述

线性代数是理工科大学生的一门重要基础课,其将理论、应用和计算完美地融合起来,也是在自然科学和工程技术各个领域中广泛应用的数学工具。随着计算机的普遍使用以及计算机功能的不断增加,线性代数在实际应用中的重要性也在不断提高,同时也对线性代数的教学内容从深度和广度上提出了更高的要求。本课程紧跟时代发展的需求,在课程设计和建设方面具有以下几个特色:

1、知识讲解中蕴含了数学文化素养和线性代数应用思想的渗透,对线性方程组、行列式、逆矩阵,线性变换,特征值等问题增加了应用方面的特别介绍,使学生可以理论与应用相结合,既加深了对理论的理解,也可以体会到线性代数与其他一些学科的交叉以及在工程和生活中的强大应用背景。

2、充分重视学习者的学习感受,在严格追求知识的科学性和严谨性的同时,更关注讲解方式的通俗易懂性以及趣味性,力求有效地降低学习中的枯燥感和抽象性。

3、充分结合天津大学多年来在线性代数教学改革中的好经验,高观点,低起点,在一般数域上探讨问题,在实数域上强化训练,为学习者进一步学习更高层次的代数知识搭好桥梁,也为当前需要提供助力。在知识结构编排和引入顺序等方面做了很多创新,开篇先引入n元向量、矩阵及其初等变换和线性方程组,使学生首先掌握贯穿线性代数学习过程的最重要的工具,建立起应用它们研究和解决问题的意识和准备,在后续的学习中事半功倍。后续逐步展开的课程内容中,既包含线性代数的一些传统经典理论教学内容的梳理,更对矩阵运算技巧、矩阵方程,逆矩阵、方程组等重要内容做了专题强化,使学习者理论水平和计算技巧两方面都得到收获。

4、线性代数是理工科非数学专业必修公共基础课,平时正常的线下课程,天津大学是56学时,许多工科院校是48学时,教学要求不尽相同。本课程的内容编排顺序和设置适合从32-56 诸多学时要求的学习,适应性比较广,48学时可以不学第6.5节以及一些应用案例讲解,32学时可以不学习第五章和第6.5节以及一些应用案例讲解,不影响课程的体系和完整性。论是线性代数课程的初学者,还是考研备考,或者只想部分知识点强化学习,相信都会在课程中选择到合适的内容。

    目前课程内容共分为七章: 第一章 矩阵的初等变换与线性方程组;第二章 行列式;第三章:矩阵;第四章 n元向量空间;第五章 线性空间;第六章 特征值与特征向量线性变换;第七章 二次型。

授课目标

课程目标1:传授线性代数的基础知识,为后续课程做准备;

课程目标2:引导学生学习和建立一些代数思想和方法;

课程目标3:培养学生的熟练运算能力; 逻辑推理能力; 抽象思维能力;

课程目标4:培养学生从应用中感悟综合运用所学知识去分析问题、解决问题的能力.


课程大纲

第一章 矩阵与线性方程组

矩阵及其初等变换是描述线性方程组及其求解过程的重要工具,本章引入了矩阵的概念以及矩阵的初等变换,列举了一些特殊矩阵,给出了求解线性方程组的矩阵消元法,建立了线性方程组有解的判定定理。熟练运用矩阵消元法求解线性方程组,理解和运用解的判别定理解决问题是本章的教学重点。

  1. 数域及n元向量

  2. 矩阵及其初等变换

  3. 线性方程组的求解及有解判别定理

第二章 行列式

行列式可以看作是方阵的一个数值特征, 本章引入行列式的概念,研究了行列式的运算性质以及行列式按行或列展开的Laplace展开定理,这些性质有助于简化行列式的计算。 最后,我们对行列式计算当中的一些典型方法, 比如: 三角化法、 降阶法(针对某些具体行列式的降阶计算)、展开式法(运用行列式的Laplace展开定理及串行展开,异乘为零的性质) 归纳递推法(针对抽象的n阶行列式的计算,有时降两阶也很必要) 特殊行列式计算(比如范德蒙德行列式)等进行了系统讲授。

  1. 排列与逆序数

  2. 行列式的定义

  3. 行列式的性质

  4. 行列式的展开

  5. 行列式的计算

第三章 矩阵

矩阵是线性代数中一个重要工具和研究对象之一,也是数学研究中不可缺少的工具,被广泛应用于数学的各个分支以及其他学科。矩阵理论丰富,运算技巧多。本章主要介绍矩阵的基本运算,初等矩阵,可逆矩阵,矩阵的分块运算,以及矩阵的秩等内容。

  1. 矩阵的运算

首先介绍了矩阵的基本代数运算,包括矩阵的加法、数量乘法,矩阵乘法,方阵的幂运算和多项式运算,然后引入了矩阵的转置,方阵的行列式和迹。其中对于矩阵乘法要重点掌握它的运算特性和运算律。

  1. 初等矩阵

介绍了初等矩阵的概念,研究了初等矩阵的性质以及初等矩阵与初等变换的关系。矩阵的初等变换可以通过初等矩阵的乘法来实现。

  1. 可逆矩阵

引入了逆矩阵的概念,介绍了逆矩阵的运算性质,判定可逆的条件,总结了逆矩阵的主要计算方法,这是一个教学重点和难点,这一节还介绍了逆矩阵在通信和密码学中的应用。讲解和归纳了有关矩阵方程的求解方法和典型题。

  1. 分块矩阵

对于某些高阶或具有特殊结构的矩阵,对矩阵分块是一种非常有用的方法,既可使运算变得简洁,也可以使矩阵的结构变得清晰。本节主要介绍矩阵的分块运算的规则及分块乘法技巧的应用,分块乘法技巧的应用既是重点,也是难点。特别对于准对角矩阵的运算性质要掌握。

  1. 矩阵的秩

本节给出了矩阵的秩的新定义,系统地研究秩的计算方法以及运算性质,探讨了矩阵的相抵的条件。

第四章 n元向量空间

本章介绍的内容具有鲜明的几何特征,是线性代数的重要理论研究内容。引入了n元向量组的线性相关性、等价等概念,定义了向量组的秩和极大无关组,研究了n元向量空间的线性结构,基和维数,并借助子空间的相关理论研究了齐次和非齐次线性方程组的通解结构。定义了内积的实向量空间就称为一个欧氏空间。将几何向量的度量性质类似地引入到n元实向量空间中,引入向量的内积,定义了向量的长度、正交性,并引入了欧氏空间的正交基和标准正交基,这是中学所学习的直角坐标系概念的延伸。最后介绍了正交矩阵的概念和性质。

  1. n元向量组的线性相关性

理解线性相关和线性无关、线性表示等概念,掌握有关判断线性表示关系及向量组线性相关性的基本方法和结论。

  1. 向量组的秩

了解向量组等价的概念,以及向量组的秩与矩阵的秩之间的关系,掌握用初等变换求向量组的秩与极大无关组。

  1. n元向量空间

引入了n元向量空间及其子空间,子空间的基和维数。要求了解基本概念,会判断子空间。会结合定义求子空间的基和维数。

  1. 线性方程组解的结构

理解齐次线性方程组基础解系的概念,掌握齐次、非齐次线性方程组解的运算性质和通解结构,会利用这些理论解决有关问题。

  1. 欧氏空间

了解内积、欧氏空间及正交(单位)向量组的概念,掌握线性无关向量组正交规范化的施密特方法。

  1. 正交矩阵

正交矩阵是一种应用非常多的矩阵,它可以引起正交变换。要求理解正交矩阵的概念及性质。

第五章 线性空间

线性空间是定义了加法和数乘运算的非空集合,且要满足线性运算的封闭性和八条运算性质。这八条性质与n元向量空间当中n元向量的线性运算所满足的性质相同。线性空间是涵盖n元向量空间的更广泛的数学模型,要理解任意n维线性空间与n元向量空间是线性同构的。

  1. 线性空间的定义和性质

理解线性空间定义所满足的八条性质,掌握线性子空间的概念.

  1. 基、维数与坐标

线性空间当中的线性无关、相关的概念完全类似于n元向量空间当中同名的概念,因为本质上这些概念是和线性运算有关的。由线性无关定义线性空间的基,维数与坐标,通过坐标映射说明n维线性空间与n元向量空间同构。

  1. 基变换与坐标变换

重点掌握线性空间中两组不同基之间的基变换公式,及同一个向量在两组不同基下的坐标变换公式,要理解这些公式的推导。

第六章 特征值与特征向量、线性变换

特征值与特征向量应用非常广泛。要理解和掌握特征值与特征向量的概念和计算,理解和运用它们满足的性质。线性变换是研究线性空间结构的重要工具,线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系,因此相似矩阵的概念和性质以及方阵能相似对角化的条件是需要掌握的重要内容。.实对称矩阵由于具有非常好的性质,因此一定能正交相似对角化。在选定一组基后,线性变换的研究完全转化为其对应的矩阵的研究。

  1. 特征值与特征向量的概念

理解特征值与特征向量概念当中的"特征"的含义,矩阵乘向量视为对该向量做了变换,而特征向量就是不改变原来向量方向的向量,特征值正是特征向量"伸缩"的倍数。

  1. 特征值与特征向量的计算

特征值与特征向量的计算转化为特征多项式的计算和求解齐次线性方程组,方程组的解子空间就是特征子空间。

3. 特征值与特征向量的性质

理解和掌握特征值与特征向量满足的一些重要性质。

4. 方阵相似的概念和性质

当一个矩阵左右乘上一对互逆的矩阵等于另外一个矩阵时, 则二者相似。相似的矩阵具有一些相同的方阵的数值特征,比如行列式、秩、迹、特征值,这些量称为相似不变量。在矩阵的某些基本运算下,方阵的相似关系能够得以保持。要求理解和掌握矩阵相似的概念和性质。

5. 方阵的相似对角化

某些方阵在满足一定的条件下可以和对角阵相似,从而在进行幂、行列式等运算时计算量可以得到减少。了解可对角化的概念,掌握方阵可对角化条件,会计算相似变换矩阵和相似的对角阵。

6. 实对称矩阵的对角化

不是每个方阵都能对角化,但实对称矩阵一定能对角化,并且是正交对角化,这取决于实对称矩阵的特征值都是实数,并且不同特征值的特征向量彼此正交。要求掌握如何将实对称矩阵正交对角化。

7. 线性变换的概念和性质

线性空间到自身的能保持线性运算的映射就是线性变换,其概念的核心是保持线性运算,由此可得到线性变换的几个性质,其推导的关键就是保持线性运算。

8. 线性变换的矩阵

取定线性空间的一个基后,定义在线性空间上的线性变换完全与矩阵一一对应,线性变换的性质研究就转化为对应矩阵的研究。若取不同的基,同一线性变换得到的不同矩阵彼此相似。一个矩阵只是线性变换的一个片面描述,彼此相似的矩阵的全体才是线性变换的真实写照。

第七章 二次型

二次型即含有多个未定元的二次齐次多项式。二次型的研究要依托于对二次型所唯一决定的对称矩阵的研究。理解二次型是披着多项式外衣的对称矩阵。

  1. 二次型及其标准形

二次型与其对应的对称矩阵一一对应,因此对二次型的研究要转化为对称矩阵的研究。线性替换将二次型转变为新的二次型,寻找线性替换能将二次型化为标准形是关键。

  1. 化二次型为标准形

实对称矩阵可正交对角化,蕴含实二次型可经正交线性替换化成标准形。

  1. 规范形与惯性定理

二次型的标准形不唯一,但规范形是唯一的,完全由二次型的秩和正惯性指数决定,这就是惯性定理。

4、正定二次型

掌握正定二次型、正定矩阵的判定方法: 定义法、特征值法、顺序主子式法、分解法等。

预备知识

中学数学知识。


证书要求

需完成课程的全部学习任务,包括观看讲课视频,完成单元测验题,完成作业,参与课程讨论,参加期末考试。总评成绩组成:平时成绩占40%,期末考试占60%,按百分制计分,60分至79分为合格,80分至100分为优秀。


参考资料
  1. 线性代数及其应用,天津大学线性代数课程组编,试用阶段.

  2. 线性代数及其应用,天津大学数学系编,科学出版社,2008.

  3. 线性代数(5),同济大学数学系编,高等教育出版社,2007.

  4. D. C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Pearson Education, Inc., 2012.

  5. D. Poole, Linear Algebra: A Modern Introduction, 4th Edition, Brooks/Cole, Thomson Learning, 2011.