线性代数及其应用
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spContent=线性代数将几何观点与代数思想相结合,它通过抽象把一些具有共性的问题化归为一类问题,以通性求通解。它将理论、应用和计算完美地融合,应用广泛而重要。让我们一起来揭开线性代数的抽象面纱,领略线性代数的强大应用魅力吧!
—— 课程团队
课程概述

线性代数是理工科大学生的一门重要基础课,它将理论、应用和计算完美地融合起来,是在自然科学和工程技术各个领域中广泛应用的数学工具。随着计算机的普遍使用以及计算机功能的不断增加,线性代数在实际应用中的重要性也在不断提高,同时也对线性代数的教学内容从深度和广度上提出了更高的要求。本课程紧跟时代发展的需求,在课程设计和建设方面具有以下几个特色:

1、知识讲解中蕴含了数学文化素养和线性代数应用思想的渗透,对线性方程组、行列式、逆矩阵,线性变换,特征值等问题增加了应用方面的特别介绍,使学生可以理论与应用相结合,既加深了对理论的理解,也可以体会到线性代数与其他一些学科的交叉以及在工程和生活中的强大应用背景。

2、充分重视学习者的学习感受,在严格追求知识的科学性和严谨性的同时,更关注讲解方式的通俗易懂性以及趣味性,力求有效地降低学习中的枯燥感和抽象性。

3、充分结合天津大学多年来在线性代数教学改革中的好经验,高观点,低起点,在一般数域上探讨问题,在实数域上强化训练,为学习者进一步学习更高层次的代数知识搭好桥梁,也为当前需要提供助力。在知识结构编排和引入顺序等方面做了很多创新,开篇先引入n元向量、矩阵及其初等变换和线性方程组,使学生首先掌握贯穿线性代数学习过程的最重要的工具,建立起应用它们研究和解决问题的意识和准备,在后续的学习中事半功倍。后续逐步展开的课程内容中,既包含线性代数的一些传统经典理论教学内容的梳理,更对矩阵运算技巧、矩阵方程,逆矩阵、方程组等重要内容做了专题强化,使学习者理论水平和计算技巧两方面都得到收获。

4、线性代数是理工科非数学专业必修公共基础课,平时正常的线下课程,天津大学是56学时,许多工科院校是48学时,教学要求不尽相同。本课程的内容编排顺序和设置适合从32-56 诸多学时要求的学习,适应性比较广,48学时可以不学第6.5节以及一些应用案例讲解,32学时可以不学习第五章和第6.5节以及一些应用案例讲解,不影响课程的体系和完整性。论是线性代数课程的初学者,还是考研备考,或者只想部分知识点强化学习,相信都会在课程中选择到合适的内容。

    目前课程内容共分为七章,第一章 矩阵的初等变换与线性方程组;第二章 行列式;第三章:矩阵;第四章 n元向量空间;第五章 线性空间;第六章 特征值与特征向量、线性变换;第七章 二次型,这些内容按计划学习进度分12周发布。

 


授课目标

课程目标1:传授线性代数的基础知识,为后续课程做准备;

课程目标2:引导学生学习和建立一些代数思想和方法;

课程目标3:培养学生的熟练运算能力; 逻辑推理能力; 抽象思维能力;

课程目标4:培养学生从应用中感悟综合运用所学知识去分析问题、解决问题的能力.


课程大纲

第一周 矩阵及其初等变换;线性方程组

1.1 数域及n元向量

1.2.1 矩阵的定义及特殊矩阵

1.2.2 矩阵的初等变换

1.3.1 矩阵消元法

1.3.2 线性方程组有解判别定理(1)

1.3.3 线性方程组有解判别定理(2)

第1周作业

第一章单元检测(矩阵及其初等变换;线性方程组)

第二周 行列式

2.1排列与逆序数

2.2行列式的定义

2.3.1行列式的性质(一)

2.3.2行列式的性质(二)

2.4行列式的展开

2.5.1行列式的计算(一)

2.5.2行列式的计算(二)

第2周作业

第三周 克拉默法则;矩阵的运算

2.6 克拉默法则

3.1.1 矩阵的运算(一)(1)

3.1.2 矩阵的运算(一)(2)

3.1.3 矩阵的运算(二)(1)

3.1.4 矩阵的运算(二)(2)

3.1.5 矩阵的运算(三)(1)

3.1.6 矩阵的运算(三)(2)

3.1.7 矩阵的运算(三)(3)

第二章单元检测 (行列式)

第3周作业

第4周 初等矩阵;可逆矩阵及矩阵方程

3.2 初等矩阵

3.3.1 可逆矩阵的定义及判定条件(1)

3.3.2 可逆矩阵的定义及判定条件(2)

3.3.3 逆矩阵的运算性质及计算(1)

3.3.4 逆矩阵的运算性质及计算(2)

3.3.5 逆矩阵的应用及简单矩阵方程(1)

3.3.6 逆矩阵的应用及简单矩阵方程(2)

第4周作业

第5周 分块矩阵;分块乘法技巧的应用;矩阵的秩;矩阵的相抵

3.4.1 分块矩阵(1)

3.4.2 分块矩阵(2)

3.4.3 分块乘法技巧的应用(1)

3.4.4 分块乘法技巧的应用(2)

3.5.1 矩阵的秩(1)

3.5.2 矩阵的秩(2)

3.5.3 矩阵的相抵(1)

3.5.4 矩阵的相抵(2)

第5周作业

第三章单元检测 (矩阵)

第6周 n元向量组的线性相关性;向量组的秩;n元向量空间

4.1.1 n元向量组的线性相关性(1)

4.1.2  n元向量组的线性相关性(2)

4.2.1 向量组的秩(1)

4.2.2 向量组的秩(2)

4.3  n元向量空间

第6周作业

第7周 线性方程组解的结构;欧氏空间 ;正交矩阵

4.4.1线性方程组解的结构(1)

4.4.2 线性方程组解的结构(2)

4.5.1 欧氏空间 R^n(1)

4.5.2 欧氏空间 R^n(2)

4.6  正交矩阵

第7周作业

第四章单元检测(n元向量空间)

第8周 线性空间;基、维数和坐标

5.1 线性空间的定义和性质

5.2 基、维数与坐标

5.3 基变换与坐标变换

第8周作业

第五章单元检测(线性空间)

第9周  特征值与特征向量的概念、性质和计算;方阵的相似

6.1 特征值与特征向量的概念

6.2 特征值与特征向量的计算

6.3.1 特征值与特征向量的性质(1)

6.3.2 特征值与特征向量的性质(2)

6.4 方阵相似的概念和性质

第9周作业

第10周 矩阵的相似对角化、实对称矩阵的对角化

6.5.1 方阵的相似对角化(1)

6.5.2 方阵的相似对角化(2)

6.6.1 实对称矩阵的对角化(1)

6.6.2 实对称矩阵的对角化(2)

第10周作业

第11周 线性变换的概念和性质;线性变换的矩阵;二次型

6.7 线性变换的概念和性质

6.8.1 线性变换的矩阵(1)

6.8.2 线性变换的矩阵(2)

7.1.1 二次型及标准形(1)

7.1.2 二次型及标准形(2)

第11周作业

第六章单元检测 (特征值与特征向量;线性变换)

第12周 二次型的标准形、惯性定理、正定性

7.2 化二次型为标准形

7.3 规范形与惯性定理

7.4 正定二次型与正定矩阵

第12周作业

第七章单元检测(二次型)

预备知识

中学数学知识。


证书要求

需完成课程的全部学习任务,包括观看讲课视频,完成单元测验题,完成作业,参与课程讨论,参加期末考试。总评成绩组成:平时成绩占40%,期末考试占60%,按百分制计分,60分至75分为合格,76分至100分为优秀。


参考资料
  1. 线性代数及其应用,天津大学线性代数课程组编,试用阶段.

  2. 线性代数及其应用,天津大学数学系编,科学出版社,2008.

  3. 线性代数(5),同济大学数学系编,高等教育出版社,2007.

  4. D. C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Pearson Education, Inc., 2012.

  5. D. Poole, Linear Algebra: A Modern Introduction, 4th Edition, Brooks/Cole, Thomson Learning, 2011.