概率论与数理统计
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spContent=法国数学家拉普拉斯说:“生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上只是概率的问题”。在这里我们将带领大家去感知变化多端的随机现象,探索其内在的变化规律,处理随机数据,对所研究的问题给出更合理、科学的估计和判断。让我们一起去探索吧!
—— 课程团队
课程概述

天津大学历史悠久,《概率论与数理统计》课程具有优秀的教学传统,师资力量雄厚,是学校重点建设的公共基础课程之一。本课程MOOC教学团队由国家杰出青年科学基金获得者、长江学者特聘教授王凤雨老师领衔,天津市青年教师教学基本功大赛一等奖获得者关静老师负责,教学团队成员杨玲玲老师曾获天津市第七届青年教师教学基本功大赛二等奖,助教赵慧老师曾获得天津大学青年教师讲课大赛特等奖。

 

《概率论与数理统计》是理工经管本科各专业必修的一门重要公共基础课程。特别,随着科学技术的发展,人们对世界的认识能力越来越高,然而依旧有大量的未知因素影响着我们对世界的认识和改造活动。概率论与数理统计是用定量方法研究我们未知的随机现象内在规律性的重要工具。统计学是被称为21世纪最有发展前途的学科之一,概率论的思想渗入各个学科更成为近代科学发展的明显特征之一。当前,概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、管理和工程技术等领域得到了广泛应用。有鉴于此,掌握一定的概率统计知识已成为各专业学生进行实际工作和学习深造的必备。

 

本课程内容包括随机事件与概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定理和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验等。





授课目标

本课程的教学目标是:使学生掌握概率论与数理统计的基本概念、基本理论和方法,引导学生从传统的确定性思维模式进入随机性思维模式,从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法,培养学生运用概率方法分析解决实际问题的能力、严密的科学思维和创新能力,为继续深造和从事社会实践工作打下必要的基础。


课程大纲

第一章 随机事件与概率(6学时)

本章讲解了统计规律性是概率理论存在的基石,强调面对实际问题,要选择适合问题的概率空间,数学推导是在该公理体系下进行的;介绍了几个与条件概率有关的公式和事件独立性的概念。

1、随机事件及运算

2、概率及性质

3、古典概型和几何概率

4、条件概率、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式

5、独立性 


第二章 随机变量及分布(8学时)

本章的教学目的是让学生认识到,概率空间在某种意义上和分布函数是等同的,从而把面对实际问题时,选择合适的概率空间,化为选取适合于问题的随机变量或分布函数,这样一来,可借用已掌握的数学分析知识解决概率问题。

本章分绍了多种分布函数,一些求随机变量函数的分布函数的技巧,在概率理论的许多应用中相当重要,同时这一部分也是全书的重点和难点之一。

1、随机变量及分布函数

2、离散型随机变量的分布

3、连续型随机变量的分布

4、随机变量函数的分布


第三章 多维随机变量及分布(10学时)

本章主要讨论二维随机变量的分布及性质,三维或更多维随机变量的许多概念和结论是二维情形的形式上的推广。

1、联合分布函数与边缘分布函数

2、二维离散型随机变量及分布

3、二维连续型随机变量及分布

4、二维随机变量函数的分布

5、n维随机变量


第四章 随机变量的数字特征(6学时)

本章讲授一些能“集中”反映随机变量特性的数字特征知识,它们在概率理论中有着重要地位;同时介绍母函数与特征函数等概率论中的重要变换的知识。特征函数和分布函数相互唯一决定,且特征函数的分析性质优于分布函数,在概率理论中地位突出。

1、随机变量的数学期望;

2、随机变量的方差

3、随机变量的协方差与相关系数

4、矩与协方差矩阵


第五章 大数定律与中心极限定理(2学时)

本章完成统计规律性的数学刻画。统计规律性作为一系列极限定理的特例出现。一方面以理论上得到深化;另一方面,为计算许多有意义事件的概率提供可操作的方法。本章的内容是学习后继课程的重要基础。

1、切比雪夫不等式

2、大数定律

3、中心极限定理

第六章  数理统计的基本概念与抽样分布(4学时)

数理统计是以概率论为理论基础的具有广泛应用的一个数学分支,是一门分析带有随机影响数据的学科。它研究如何有效地收集数据,并利用一定的统计模型对这些数据进行整理分析,利用统计方法进行推断预测,为决策提供依据。本章主要介绍统计学中的一些基本概念、重要的统计量及分布,它们是以后学习各章知识的基础。

1、基本概念

2、统计量及分布


第七章 参数估计(8学时)

参数估计是数理统计的重要内容之一,当随机变量所服从的概率分布类型已知时,还需确定分布中的未知参数,这样随机变量的分布才能完全确定。本章主要介绍参数的点估计和区间估计,以及评价估计量优良性的准则。

1、参数的点估计

2、估计量的优良性准则

3、区间估计


第八章 假设检验(4学时)

本章介绍不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题----假设检验,即对总体的分布类型或分布类型中的未知参数提出假设,然后根据抽取的样本构造适当的统计量,对假设的真伪作判断,并使这种判断具有一定的可靠性。

1、假设检验的基本概念

2、正态总体参数的假设检验




预备知识

高等数学、线性代数


证书要求

本课程的学习环节包含:观看讲课视频、完成单元测验题、完成作业,参与课程讨论、参加期末考试。

 

课程学习成绩由以下部分构成:

(1)单元测验:在每一周学习结束后,将有一次单元测验,题型为选择题和判断题,占课程成绩的25%;

(2)课后作业:题型为主观题,占课程成绩的15%;

(3)论坛发言:占课程成绩的10%

(4)课程考试:课程结束后,参加课程的最后考试,占课程成绩的50%。

 

完成课程学习并考核合格可获得证书,总评成绩在60分至79分为合格证书,总评成绩在80分至100分为优秀证书。


参考资料

《概率论与数理统计讲义》, 天津大学数学系编,高等教育出版社,2012