线性代数
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spContent=线性代数是高等学校理、工、经管等多个专业必修的公共基础课。本课程注重由浅入深,化难为易,力求用最短的时间让学生顺利地理解并掌握线性代数中的基本概念、常用结论和思想方法,为后继课程准备必要的基础知识,达到教育部大学数学课程教学指导委员会和研究生入学考试对本课程的要求。
—— 课程团队
课程概述

本课程以矩阵为主线,围绕矩阵的各种运算和矩阵间的等价、相似、合同关系展开论述,内容包括矩阵、行列式、n 维向量、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型。这些知识的背后凝结着数学归纳法、等价类、标准形、不变量、数形结合、数学建模等重要的数学思想。本课程不仅适合各类高校理、工、经管等多个专业的学生,也适合其他需要线性代数基础知识的学生、教师、工程技术人员和社会人员。

课程大纲


一、授课内容及教学进度


周次学习内容
1

第1讲 线性代数课程绪论

第2讲 矩阵的定义及例子
第3讲 矩阵的加法及数乘
第4讲 矩阵乘法的定义
第5讲 矩阵乘法的性质
2第6讲 矩阵的转置
第7讲 分块矩阵
第8讲 矩阵的初等变换
第9讲 初等矩阵
3第10讲 逆矩阵的定义及性质
第11讲 逆矩阵的计算
第12讲 求解矩阵方程
第13讲 行列式的定义
4第14讲 行列式的性质
第15讲 行列式按行(列)展开
第16讲 行列式的计算
第17讲 伴随阵与逆矩阵
5第18讲 抽象矩阵的可逆性
第19讲 克拉默法则
第20讲 矩阵秩的定义
第21讲 矩阵秩的等式
第22讲 矩阵秩的不等式
6第23讲 向量的概念
第24讲 向量的线性组合和线性表示
第25讲 向量组的秩
7第26讲 向量的线性相关性
第27讲 线性相关性的等价刻画I
第28讲 线性相关性的等价刻画II
第29讲 向量组的极大无关组
8第30讲 向量空间、基、维数和坐标
第31讲 基变换和坐标变换
第32讲 内积
第33讲 标准正交向量组和正交矩阵
9第34讲 线性方程组和Gauss消元法
第35讲 齐次线性方程组有非零解的条件
第36讲 齐次线性方程组的基础解系
10第37讲 非齐次线性方程组的解
第38讲 非齐次线性方程组的解的结构
第39讲 向量组极大无关组的计算
第40讲 线性方程组的最小二乘解
11第41讲 相似矩阵的定义及性质
第42讲 特征值(向量)的定义
第43讲 特征值(向量)的求法
第44讲 特征值的性质
12第45讲 相似于对角阵的条件
第46讲 相似对角化与方阵的幂
第47讲 实对称矩阵的相似对角化
第48讲 已知特征值(向量),求矩阵
13第49讲 二次型的定义、矩阵表示及标准形
第50讲 用正交变换化二次型为标准形
第51讲 用配方法化二次型为标准形
第52讲 矩阵的合同与惯性定理
第53讲 正定二次型定义及判定


二、教学要求

1. 矩阵

(1) 理解矩阵的概念,理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义。

(2) 理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质,熟练掌握上述运算。

(3) 了解分块矩阵的运算性质,掌握常见的分块方法和分块矩阵的运算规则。

(4) 理解矩阵的初等变换与初等矩阵的概念以及二者之间的联系,理解矩阵等价、行阶梯形矩阵、行最简形矩阵以及矩阵等价标准形的概念,掌握将一个矩阵化为行阶梯形、行最简形以及等价标准形的方法。

(5) 理解矩阵的可逆性的概念,掌握判别矩阵是否可逆的方法,掌握逆矩阵的性质,掌握利用初等变换求逆矩阵以及解简单的矩阵方程的方法。

(6) 理解n阶行列式的定义,掌握行列式的性质,掌握低阶行列式及简单的高阶行列式的计算,了解行列式的乘法定理,了解伴随矩阵的概念,熟练掌握伴随矩阵的性质,掌握利用伴随矩阵计算逆矩阵的方法,理解Cramer法则,掌握用Cramer法则求解方程组的方法。

(7) 理解矩阵的秩的概念,熟练掌握矩阵的秩的求法,理解矩阵运算前后的秩之间的关系,掌握关于矩阵的秩的等式和不等式。

2n维向量

(1) 理解向量的概念,掌握向量的线性运算的性质,理解线性组合和线性表示的概念。

(2) 理解向量组的秩的概念,理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系,熟练掌握向量组的秩的性质,理解向量组的线性相关性的概念。

(3) 掌握向量组的线性相关性的判别方法和一些常用的重要结论。

(4) 理解向量组的极大线性无关组的概念,理解向量组的极大线性无关组与向量组的秩间的关系,会求向量组的极大线性无关组。

(5) 知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念,会判断向两空间的子集是否构成子空间,会求由一向量组生成的子空间的基及它们的维数,知道坐标变换公式,会求两组基间的过渡矩阵。

(6) 理解向量的内积、长度及正交性的概念,了解向量内积的基本性质,理解向量空间的标准正交基的概念,熟练掌握Schimidt正交化方法,理解正交矩阵的概念,了解正交矩阵的性质。

3. 线性方程组

(1) 理解线性方程组的基本概念,掌握Gauss消元法。

(2) 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件,理解齐次线性方程组的基础解系的概念,熟练掌握基础解系的求法。

(3) 理解非齐次线性方程组有解的充要条件,理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系,熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法。

(4) 了解线性方程组的最佳近似解的概念和求最小二乘解的方法。

4. 矩阵的特征值和特征向量

(1) 理解相似矩阵的概念与性质。

(2) 理解矩阵的特征值、特征向量的概念,理解特征多项式、特征值、特征向量的性质,熟练掌握矩阵的特征多项式、特征值、特征向量的求法。

(3) 熟练掌握矩阵相似于对角阵的充要条件,并熟练掌握相应的对角阵及相似变换矩阵的求法。

(4) 熟练掌握实对称矩阵的性质,熟练掌握求正交矩阵将实对称矩阵化成对角阵的方法。

5.二次型

(1) 理解二次型及其矩阵表示的概念,熟练掌握二次型的矩阵的求法。

(2) 理解二次型的标准形与规范形的概念,理解合同的概念,掌握用配方法化二次型为标准形的方法,理解二次型在正交变换下的标准形与二次型的矩阵的特征值的关系,熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法,理解惯性定理以及惯性指数的概念,掌握判断实对称矩阵合同的方法。

(3) 理解正定性的概念,熟练掌握判断二次型、实对称矩阵是否正定的方法。

预备知识

多项式、二元一次方程组、平面向量、数学归纳法。

证书要求

暂无证书。

参考资料

1. 陈建龙、周建华、张小向、韩瑞珠、周后型编,线性代数(第二版),科学出版社,2016

2. 周建华、陈建龙、张小向编,几何与代数,科学出版社,2009

3. 张小向、陈建龙编,线性代数学习指导,科学出版社,2008