山东大学

高等数学—微积分(2)

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课程概述

       在当今科技飞速发展,特别是计算机科学及其应用日新月异的时代,数学科学已渗透到各个科技领域,学习任何一门科学都要用到许多数学知识,而其中最基本的则是微积分。高等数学微积分是非数学各专业的一门必修课,学习任何一门近代数学或工程技术都必须先学微积分。

        《高等数学微积分》MOOC课程分为《高等数学微积分(1)》和《高等数学微积分(2)》共11章。

        《高等数学微积分(1)》由6章构成,主要内容包括:绪论——微积分的产生及基本思想、函数、极限与连续、导数、中值定理与导数应用、一元函数积分学(不定积分、定积分、定积分应用)及常微分方程。

        《高等数学微积分(2)》由5章构成,主要内容包括:无穷级数、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分。

        本课程每一章均配有一次习题课,讲解典型例题及综合性习题,为更好地适应当前应用型创新人才培养的要求,在每一章的最后一讲均为解决本章内容的数学软件MATLAB演示 ,培养学生在实际问题中“用”数学的能力。

        通过本课程的学习不但可以使学生了解微积分的起源、领会基本概念、基本思想和基本运算方法,更重要的是培养学生抽象思维、逻辑推理能力,尤其是用数学的意识和能力。通过本课程的学习也可以为后续课程打下坚实的基础。

证书要求

本课程的学习环节包含:观看讲课视频及其它课程资源、完成单元测验题、参加期末考试,课程学习成绩由两部分构成:

(1)单元测验:在每一章学习结束后,将有一次单元测验,题型为选择题,所有单元测验分数占课程成绩的25%。

(2)课程考试:课程结束后,学生可以参加课程的最后考试,成绩占75%。

完成课程学习并考核合格(>=60分)的可获得合格证书,成绩优秀(>80分)的可获得优秀证书。

预备知识

高等数学—微积分(1)

授课大纲

6章:无穷级数

第6章 无穷级数

第一讲 常数项级数的概念

1.级数的起源

2.问题的引入

3.常数项级数的概念

第二讲 级数的基本性质

1.收敛级数的性质

2.级数收敛必要条件

第三讲 正项级数的审敛法

1.正项级数的定义

2.比较审敛法

第四讲 正项级数及其审敛法Ⅱ

1.根植判定法

2.比值判定法

第五讲 交错级数和任意项级数审敛法

第六讲 幂级数及其收敛域

   1 函数项级数

2.函数项级数收敛域

3.幂级数及其收敛性

第七讲 幂级数的收敛半径

第八讲 幂级数的运算

1.幂级数的四则运算

2.幂级数和函数的性质

第九讲 函数展开成幂级数Ⅰ

   1.问题的引入

2.泰勒级数

3.函数展开成幂级数的直接法

第十讲 函数展开成幂级数Ⅱ

1.逐项积分、逐项求导法

2.变量代换法

3.函数变形及四则运算

第十一讲 反常积分的审敛法

   1.无限区间上的积分

2.无界函数的反常积分

第十二讲  函数展开成傅里叶级数

1.傅里叶级数的引入及起源

2.三角函数系的正交性

3.函数展开成傅立叶级数    

第十三讲 正弦级数和余弦级数

1.奇函数和偶函数的傅里叶级数

2.函数展开成正弦级数和余弦级数 

3.2l为周期的函数的傅里叶级数

第十四讲 习题课

第十五讲  Matlab计算级数问题

7章:向量代数与空间解析几何

第一讲 向量及其运算

1.解析几何的起源

2.空间直角坐标系

3.向量的概念

4.向量的线性运算

第二讲 向量的数量积及方向余弦

  1.向量的模与方向余弦的坐标表示式

2.向量在轴上的投影

  3.两向量的数量积

第三讲 向量的向量积

1.二阶三阶行列式简介

2.向量的向量积

3.向量积的坐标表示式

4.向量的混合积

第四讲 空间的平面及其方程    

  1.空间的平面方程

2.两平面的夹角

3.点到平面的距离

第五讲 空间直线及其方程

1.空间的直线方程

2.两直线的夹角

3.直线与平面夹角

第六讲 空间曲面和曲线

1.曲面方程的概念

2.旋转曲面

3.柱面:

4.二次曲面

5.空间曲线的一般方程

6.空间曲线的参数方程

第七讲 习题课

第八讲 用Matlab画空间曲线

 8  多元函数微分学及其应用

第一讲 多元函数的起源和多元函数的概念

     多元函数的起源

 多元函数的概念

 1.平面点集

2.邻域、内点、边界点

  3.区域和闭区域

 4.n维空间

  5.二元函数的定义

  6.二元函数的几何意义

第二讲 二元函数的极限和连续

 1.二元函数的极限

  2.二元函数的连续性

第三讲 偏导数

 1.偏导数的定义及其计算法

 2.高阶偏导数

第四讲 全微分

 1.全微分的定义

 2.全微分在近似计算中的应用

第五讲 多元复合函数的微分法

   1.多元复合函数求导的链式法则

   2.全微分形式的不变性

第六讲 隐函数的微分法

第七讲 微分法在几何上的应用

 1.空间曲线的切线和法平面

   2.空间曲面的切平面和法线

第八讲 多元函数的极值与最值

   1.多元函数的极值

   2.最大值与最小值

第九讲 条件极值  拉格朗日乘数法

第十讲 习题课

第十一讲 用Matlab求偏导数

   9章 重积分

 第一讲 重积分的起源及二重积分的概念和性质

 重积分的起源

 二重积分的概念和性质

 1.引入二重积分的两个实际问题

 2.二重积分的定义

 4.二重积分的性质

第二讲 直角坐标系下二重积分的计算

第三讲 极坐标系下二重积分的计算

第四讲 三重积分

 1.三重积分的定义

 2.直角坐标系下三重积分的计算

第五讲 柱面坐标系下三重积分的计算

第六讲 球面坐标系下三重积分的计算

第七讲 重积分的一般变量代换

第八讲 重积分的应用

 1.质心

2.转动惯量

 3.引力

第九讲  习题课

第十讲  Matlab计算重积分

10章 曲面积分与曲线积分

第一讲 对弧长曲线积分的概念与性质

1.问题的提出

  2.对弧长的曲线积分的概念

  3.对弧长曲线积分的性质

第二讲 对弧长曲线积分的计算

1.计算公式

  2.例题

第三讲 对坐标曲线积分的概念与性质
  1.问题的提出

  2.对坐标曲线积分的概念

  3.对坐标曲线积分的性质

第四讲 对坐标曲线积分的计算
  1.计算公式

  2.例题

第五讲 格林公式
1.格林公式

  2.例题

第六讲 曲线积分和路径无关的条件
第七讲 全微分求积

1.二元函数的全微分求积

  2.全微分方程

第八讲 对面积的曲面积分
   1.对面积曲面积分的概念与性质

   2.对面积曲面积分的计算法

第九讲 对坐标曲面积分的概念和性质

   1.有向曲面及曲面元素的投影

   2.对坐标曲面积分的概念与性质

第十讲 对坐标曲面积分的计算 

   1.对坐标曲面积分的计算

   2.两类曲面积分的联系

 第十一讲 高斯公式

1.高斯公式

2.例题

第十二讲 斯托克斯公式

1.斯托克斯公式

2.例题

第十三讲 场论

    1.方向导数

        2.梯度

  3.通量与散度

  4.环流量与旋度

第十四讲 习题课
第十五讲  Matlab计算曲线积分与曲面积分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

参考资料

[1] 刘建亚,吴臻,蒋晓芸,张天德.大学数学教程-微积分(1.2.北京:高等教育出版社出版,2011.


[2] 刘建亚,吴臻,张天德,蒋晓芸.大学数学教程-微积分(2.2.北京:高等教育出版社出版,2011.


[3] 同济大学数学系.高等数学(上、下).6.北京:高等教育出版社,2007.

上册



下册


[4] 蒋晓芸,张天德,崔玉泉.大学数学学习指南微积分.2.济南:山东大学出版社,2011.

[5] 刘建亚,吴臻,张天德,等.高等数学习题精选精解.济南:山东科技出版社,2013.