国防科学技术大学

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课程概述

  高等数学以微积分为主要内容。微积分是研究运动和变化的数学,它广泛应用于自然科学、社会科学、经济管理、工程技术等各个领域,其内容、思想与方法对培养各类人才全面综合素质具有不可替代的作用。高等数学课程着重培养学员的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、实验及观察能力以及综合运用所学知识分析问题解决问题的能力,也是开展数学素质教育、培养学习者创新精神和创新能力的重要课程。

  为符合MOOC课程的特点并方便广大学习者,我们将传统意义的高等数学课程分成五个部分,共100讲,由十五章组成。主要内容包括:极限与连续、数值级数、一元函数导数与积分、常微分方程、空间解析几何、多元函数微分学及应用、重积分、曲线与曲面积分、幂级数与傅里叶级数。

  高等数学(一)共21讲,主要内容有:绪论、映射与函数、数列极限与数值级数、函数极限与连续。


证书要求

课堂测试与作业占30%,论坛占10%,期末考试占60%,按百分制计分,60分至84分为合格,85分至100分为优秀。

预备知识

高中数学

授课大纲

高等数学一(共21讲)

第0章 绪论

第一讲 微积分纵览

1. 微积分创立背景

2.1  几个微积分问题——如何求平面图形面积

2.2  几个微积分问题——如何求平面曲线切线

2.3  几个微积分问题——如何求无穷多个数的和

3  如何学习微积分

第二讲 如何用Mathematica做微积分

1  问题引入

2.1  Mathematica基本操作——界面简介

2.2  Mathematica基本操作——基本运算与数

2.3  Mathematica基本操作——函数与列表处理

3  绘制图形

4.1  微积分基本计算——解方程与不等式

4.2  微积分基本计算——导数与微分

4.3  微积分基本计算——求积分与解微分方程

第一章 映射与函数

第三讲 集合与映射

1  问题引入

2.1  集合的概念与运算——集合的概念

2.2  集合的概念与运算——集合的运算性质

2.3  集合的概念与运算——直积的概念

3  确界与连续性公理

4  区间与邻域

5  映射

6  集合的比较

第四讲 函数的概念与性质

1  问题引入

2  函数的概念

3  函数的例子

4  函数的运算

5.1  函数的简单特性——单调性与有界性

5.2  函数的简单特性——奇偶性与周期性

第五讲 初等函数

1  问题引入

2.1  基本初等函数——幂函数与指数函数

2.2  基本初等函数——三角函数与反三角函数

3  初等函数

4  双曲函数

第六讲 曲线的参数方程与极坐标方程

1  问题引入

2.1  曲线的参数方程——参数方程概念

2.2  曲线的参数方程——直角坐标方程化为参数方程

2.3  曲线的参数方程——常见曲线的参数方程

3.1  极坐标与极坐标方程——极坐标系

3.2  极坐标与极坐标方程——曲线的极坐标表示

4.1  圆锥曲线——圆锥曲线的定义

4.2  圆锥曲线——圆锥曲线极坐标方程

第二章数列极限与数值级数

第七讲 数列极限的概念

1  问题引入

2  数列极限的直观描述

3  数列极限的算术定义

4  数列极限的几何解释

5  割圆术与圆周率

第八讲 数列极限的性质

1  问题引入

2.1  数列极限的基本性质——惟一性

2.2  数列极限的基本性质——有界性

2.3  数列极限的基本性质——保号性

3.1  数列极限的运算法则——四则运算法则

3.2  数列极限的运算法则——四则运算法则的应用

第九讲 数列收敛的判定方法

1  问题引入

2.1  夹逼定理——定理证明

2.2  夹逼定理——定理应用

3.1  单调有界原理——定理证明

3.2  单调有界原理——定理应用

4  区间套定理

第十讲 子数列与聚点原理

1  问题引入

2  子数列的概念

3  数列收敛的归并性

4  聚点原理

5  柯西收敛原理

第十一讲 无穷级数的概念与运算性质

1  问题引入

2  级数的由来

3  级数收敛的概念

4  收敛级数的性质

5  柯西收敛原理

第十二讲 正项级数收敛性判别方法

1  问题引入

2  正项级数收敛的充要条件

3.1  比较判别法——不等式形式

3.2  比较判别法——极限形式

4  比值判别法与根值判别法

第十三讲 变号级数收敛性判别方法

1  问题引入

2.1  交错级数——莱布尼兹判别法

2.2  交错级数——莱布尼兹判别法的应用

3  绝对收敛与条件收敛

4  级数收敛性判定一般方法

第三章 函数极限与连续

第十四讲 函数极限的概念

1  问题引入

2  连续变量的变化过程

3  函数极限例子

4.1  函数极限的定义——在无穷远处的情形

4.2  函数极限的定义——在有限点处的情形

4.3  函数极限的定义——极限存在性讨论

第十五讲 函数极限的性质与运算法则

1  问题引入

2  函数极限的性质

3  函数极限的四则运算法则

4  复合运算的极限

第十六讲 函数极限存在性的判定准则

1  问题引入

2  函数极限与数列极限的关系

3  夹逼定理

4.1  两个重要极限及应用——重要极限之一

4.2  两个重要极限及应用——重要极限之二

4.3  两个重要极限及应用——重要极限的应用

第十七讲 无穷小量与无穷大量

1  问题引入

2  无穷小的概念

3  无穷小的运算性质

4  无穷大与铅直渐近线

5.1  无穷小的比较——无穷小的比较的概念

5.2  无穷小的比较——常用等价无穷小关系及其应用

第十八讲 函数连续的概念

1  问题引入

2.1  连续函数的概念——函数在一点连续

2.2  连续函数的概念——函数在区间上连续

3.1  间断点及其类型——间断点的概念

3.2  间断点及其类型——与间断点有关的问题

第十九讲 连续函数的运算

1  问题引入

2.1  连续函数的运算法则——四则运算法则

2.2  连续函数的运算法则——复合运算法则

2.3  连续函数的运算法则——求逆运算法则

3  初等函数的连续性

4  压缩映像原理

第二十讲 闭区间上连续函数的性质

1  问题引入

2.1  最值定理——最值的概念与最值定理

2.2  最值定理——最值定理的证明

3.1  零值定理与介值定理——定理证明

3.2  零值定理与介值定理——定理应用

第二十一讲 函数的一致连续性

1  问题引入

2  一致连续的定义

3  一致连续的几何解释

4  一致连续性定理

参考资料
1】朱健民,李建平.高等数学(第二版)(上、下).北京:高等教育出版社,2015年.


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下册购买链接:http://www.hepmall.com/index.php/product-16799.html


2】李建平,朱健民.高等数学的典型例题与解法(上、下).长沙:国防科技大学出版社,2003年.

3】李建平,朱健民等.高等数学课程实验.北京:科学出版社,2011年.

4】李建平,朱健民等.高等数学试题汇编.长沙:国防科技大学出版社,2013年.