国防科学技术大学

高等数学(五)

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课程概述

    高等数学以微积分为主要内容。微积分是研究运动和变化的数学,它广泛应用于自然科学、社会科学、经济管理、工程技术等各个领域,其内容、思想与方法对培养各类人才全面综合素质具有不可替代的作用。高等数学课程着重培养学员的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、实验及观察能力以及综合运用所学知识分析问题解决问题的能力,也是开展数学素质教育、培养学习者创新精神和创新能力的重要课程。
    为符合MOOC课程的特点并方便广大学习者,我们将传统意义的高等数学课程分成五个部分,共100讲,由十五章组成。主要内容包括:极限与连续、数值级数、一元函数导数与积分、常微分方程、空间解析几何、多元函数微分学及应用、重积分、曲线与曲面积分、幂级数与傅里叶级数。

    高等数学(五)共18讲,主要内容有:曲线、曲面积分,幂级数与傅里叶级数,微分方程定性理论初步。

证书要求

课堂测试与作业占30%,论坛占10%,期末考试占60%,按百分制计分,60分至84分为合格,85分至100分为优秀。

预备知识

高等数学(一)、(二)、(三)、(四)

授课大纲

高等数学五(共18讲)

第一讲 对弧长的曲线积分的概念与计算

1、问题引入

2.1、对弧长曲线积分的概念——积分的定义

2.2、对弧长曲线积分的概念——实际意义与性质

3、对弧长曲线积分的计算

4.1、对弧长曲线积分的应用——面积与质心

4.2、对弧长曲线积分的应用——对质点的引力

第二讲 对坐标的曲线积分的概念与计算

1、问题引入

2、对坐标曲线积分的概念

3、对坐标曲线积分的计算

4、两类曲线积分的关系

5.1、对坐标曲线积分的应用——变力做功

5.2、对坐标曲线积分的应用——平面场的环量与流量

第三讲 格林公式

1、问题引入

2、简单区域的格林公式

3、一般区域的格林公式

4、区域面积的计算

第四讲 积分与路径无关条件

1、问题引入

2、保守场

3、积分与路径无关的等价刻画

4、原函数的计算

5、全微分方程

第五讲 对面积的曲面积分的概念与计算

1、问题引入

2、曲面的面积

3、对面积的曲面积分的概念

4、对面积的曲面积分的计算

5、对面积的曲面积分的应用

第六讲 对坐标的曲面积分的概念与计算

1、问题引入

2、对坐标的曲面积分的概念

3、对坐标的曲面积分的计算

4、两类曲面积分之间的关系

第七讲 高斯公式

1、问题引入

2、高斯公式

3、高斯公式的应用

4、散度

第八讲 斯托克司公式

1、问题引入

2、斯托克斯公式

3、斯托克斯公式的应用

4、旋度

第九讲 向量场的微积分基本定理

1、问题引入

2、向量场的积分

3、梯度、散度与旋度

4、积分公式的向量形式

5、应用举例

第十讲 函数项级数收敛与一致收敛

1、问题引入

2、函数项级数收敛概念

3、函数项级数一致收敛概念

4、一致收敛级数的判别法

第十一讲 函数项级数的解析性质

1、问题引入

2、和函数的连续性

3、函数项级数的逐项可积性

4、函数项级数的逐项可导性

第十二讲 幂级数的收敛域与和函数

1、问题引入

2、幂级数的概念

3、阿贝尔定理

4、收敛半径与收敛区域

5、幂级数的运算性质

第十三讲 函数的幂级数展开

1、问题引入

2、泰勒级数的概念

3、泰勒级数展开的条件

4、泰勒级数展开的方法

5、泰勒级数的应用

第十四讲 傅里叶级数的概念

1、问题引入

2、三角函数系的正交性

3、傅里叶系数与傅里叶级数

4、傅里叶级数的计算

第十五讲 函数的傅里叶级数展开

1、问题引入

2、傅里叶级数的收敛定理

3、正弦级数与余弦级数

4、吉布斯现象

第十六讲 一般函数的傅里叶级数

1、问题引入

2、一般函数的傅里叶级

3、傅里叶级数的复数形式

4、傅里叶变换的概念

第十七讲 一阶线性微分方程组

1、问题引入

2、线性微分方程组模型

3、线性微分方程组基本概念

4、线性微分方程组的解法

5、轨线与相图

第十八讲 微分方程稳定性初步

1、问题引入

2、稳定性的概念

3、线性系统平衡点的稳定性

4、兰彻斯特模型的稳定性分析


参考资料

1】朱健民,李建平.高等数学(第二版)(上、下).北京:高等教育出版社,2015年.


上册购买链接:http://www.hepmall.com/index.php/product-16589.html


下册购买链接:http://www.hepmall.com/index.php/product-16799.html


2】李建平,朱健民.高等数学的典型例题与解法(上、下).长沙:国防科技大学出版社,2003年.

3】李建平,朱健民等.高等数学课程实验.北京:科学出版社,2011年.

4】李建平,朱健民等.高等数学试题汇编.长沙:国防科技大学出版社,2013年.