国防科学技术大学

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课程概述

  高等数学以微积分为主要内容。微积分是研究运动和变化的数学,它广泛应用于自然科学、社会科学、经济管理、工程技术等各个领域,其内容、思想与方法对培养各类人才全面综合素质具有不可替代的作用。高等数学课程着重培养学员的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、实验及观察能力以及综合运用所学知识分析问题解决问题的能力,也是开展数学素质教育、培养学习者创新精神和创新能力的重要课程。

  为符合MOOC课程的特点并方便广大学习者,我们将传统意义的高等数学课程分成五个部分,共100讲,由十五章组成。主要内容包括:极限与连续、数值级数、一元函数导数与积分、常微分方程、空间解析几何、多元函数微分学及应用、重积分、曲线与曲面积分、幂级数与傅里叶级数。
  

  高等数学(二)共26讲,主要内容有:一元函数导数及其应用、一元函数积分及其应用。

证书要求

课堂测试与作业占30%,论坛占10%,期末考试占60%,按百分制计分,60分至84分为合格,85分至100分为优秀。

预备知识

高等数学(一)

授课大纲

高等数学二(共26讲)

第一讲 导数概念

1、问题引入

2、问题求解

3、导数的定义及几何意义

4、导数存在的条件

5、导函数

第二讲 导数运算法则

1、问题引入

2.1、求导法则——四则运算法则

2.2、求导法则——反函数与复合函数求导法则

3、基本初等函数求导公式

4、导数综合计算

第三讲 高阶导数

1、问题引入

2、高阶导数

3、隐函数的导数

4、参数方程确定函数的导数

第四讲 局部线性化与微分

1、问题引入

2、微分的概念

3、微分在近似计算中的应用

4、一阶微分形式的不变性

5、高阶微分

第五讲 导数在实际问题中的应用

1、问题引入

2、变化率

3、相关变化率

第六讲 不定积分的概念与性质

1、问题引入

2、原函数

3、不定积分的概念与性质

4、不定积分基本公式

5、不定积分的简单应用

第七讲 函数的极值及最优化应用

1、问题引入

2、极值的概念

3、可微函数极值的必要条件

4、极值判定的一个充分条件

5、求最大值与最小值

第八讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理

1、问题引入

2、罗尔定理

3、拉格朗日中值定理

4、微分中值定理应用

第九讲 柯西中值定理与洛必达法则

1、问题引入

2、柯西中值定理

3.1、洛必达法则——法则的几种情形

3.2、洛必达法则——不定型极限的计算

第十讲 函数的多项式逼近

1、问题引入

2、函数的多项式逼近

3、几个初等函数的麦克劳林多项式

4、逼近效果的图形演示

第十一讲 泰勒公式

1、问题引入

2、误差估计及泰勒公式

3、几个初等函数的麦克劳林公式

4、间接法求泰勒公式

第十二讲 泰勒公式的应用

1、问题引入

2、近似计算

3、极限计算

4、问题证明

第十三讲 函数的单调性与凹凸性

1、问题引入

2.1、函数的单调性判定——单调性判定方法

2.2、函数的单调性判定——极值第一充分条件

2.3、函数的单调性判定——极值第二充分条件

3.1、函数凹凸性及其判定——凸函数的概念

3.2、函数凹凸性及其判定——函数凸性判别方法

第十四讲 利用导数研究函数的几何性态

1、问题引入

2、函数图形的几何性态回顾

3、函数图形的渐近线

4、函数的几何性态研究

第十五讲 曲率

1、问题引入

2、弧微分

3.1、曲率的概念及计算——曲率的定义

3.2、曲率的概念及计算——曲率的计算

4、曲率半径与曲率圆

第十六讲 解非线性方程的牛顿切线法

1、问题引入

2.1、牛顿法思想及迭代公式——简单迭代法

2.2、牛顿法思想及迭代公式——牛顿迭代法

3、牛顿法的收敛性

第十七讲 定积分的概念

1、问题引入

2、几个典型的定积分问题

3、定积分的定义

4、定积分的几何意义

5、定积分的基本性质

第十八讲 定积分的性质

1、问题引入

2、函数的可积性

3、定积分求特殊和式的极限

4、积分中值定理

第十九讲 微积分基本公式

1、问题引入

2、微积分基本公式

3、变限积分函数

4、原函数的存在性

5、变限积分的综合应用

第二十讲 积分的变量替换法

1、问题引入

2、不定积分的第一类换元法

3、不定积分的第二类换元法

4、定积分的换元法

第二十一讲 积分的分部积分法

1、问题引入

2.1、不定积分的分部积分法——基本计算

2.2、不定积分的分部积分法——递推公式

3.1、定积分的分部积分法——基本计算

3.2、定积分的分部积分法——华莱士公式

第二十二讲 积分计算综合

1、问题引入

2、几类积分计算总结

3、奇偶函数的定积分

4、周期函数的定积分

第二十三讲 定积分的几何应用

1、问题引入

2.1、平面图形的面积——面积的积分表示

2.2、平面图形的面积——面积的计算

3.1、体积——已知截面面积立体的体积

3.2、体积——已知截面面积立体的体积

第二十四讲 定积分的物理应用

1、、问题引入

2、功

3、静压力

4、引力

第二十五讲 反常积分讲

1、问题引入

2、无穷区间的反常积分

3、无界函数的反常积分

4、反常积分的敛散性

第二十六讲 定积分的数值计算

1、问题引入

2、数值积分的基本思想

3、矩形公式

4、梯形公式

5、辛普森公式

参考资料

【1】朱健民,李建平. 高等数学(第二版)(上、下).北京:高等教育出版社,2015年.


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【2】李建平,朱健民. 高等数学的典型例题与解法(上、下).长沙:国防科技大学出版社,2003年.

【3】李建平,朱健民等. 高等数学课程实验.北京:科学出版社,2011年.

【4】李建平,朱健民等. 高等数学试题汇编.长沙:国防科技大学出版社,2013年.