国防科学技术大学

高等数学(四)

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课程概述

        高等数学以微积分为主要内容。微积分是研究运动和变化的数学,它广泛应用于自然科学、社会科学、经济管理、工程技术等各个领域,其内容、思想与方法对培养各类人才全面综合素质具有不可替代的作用。高等数学课程着重培养学员的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、实验及观察能力以及综合运用所学知识分析问题解决问题的能力,也是开展数学素质教育、培养学习者创新精神和创新能力的重要课程。

        为符合MOOC课程的特点并方便广大学习者,我们将传统意义的高等数学课程分成五个部分,共100讲,由十五章组成。主要内容包括:极限与连续、数值级数、一元函数导数与积分、常微分方程、空间解析几何、多元函数微分学及应用、重积分、曲线与曲面积分、幂级数与傅里叶级数。

        高等数学(四)共21讲,主要内容有:多元函数的导数及其应用、重积分。

证书要求

课堂测试与作业占30%,论坛占10%,期末考试占60%,按百分制计分,60分至84分为合格,85分至100分为优秀。

预备知识

一元微积分

授课大纲

高等数学四(共21讲)

第一章 多元函数的导数及其应用

第一讲 多元函数的概念

1.问题引入

2.1.点集的基本知识——邻域的概念

2.2.点集的基本知识——区域的概念

3.多元函数定义

4.二元函数的几何表示

第二讲 多元函数的极限与连续

1.问题引入

2.1.多元函数的极限——极限的定义

2.2.多元函数的极限——极限的存在性

3.多元函数的连续性

4.闭区域上连续函数的性质

第三讲 偏导数

1.问题引入

2.1.二元函数的偏导数——偏导数定义及几何意义

2.2.二元函数的偏导数——偏导数的极限形式

3.偏导数的计算

4.高阶偏导数

第四讲 全微分概念

1.问题引入

2.1.二元函数的局部线性化——局部线性化概念

2.2.二元函数的局部线性化——具体函数的局部线性化

3.二元函数全微分的概念

4.具体函数可微性的判定

第五讲 函数的可微性与近似计算

1.问题引入

2.1.函数可微的必要条件与充分条件——必要条件与全微分的几何意义

2.2.函数可微的必要条件与充分条件——充分条件

3.微分法则

4.全微分在近似计算中的应用

第六讲 多元复合函数的偏导数

1.问题引入

2.1.多元复合函数的求导法则——一个自变量情形

2.2.多元复合函数的求导法则——多个自变量情形

2.3.多元复合函数的求导法则——法则的应用

3.多元函数一阶微分形式不变性

第七讲 隐函数存在定理

1.问题引入

2.1.一个方程确定的隐函数——隐函数存在定理

2.2.一个方程确定的隐函数——隐函数存在定理的几何含义

3.1.方程组确定的隐函数——隐函数存在定理

3.2.方程组确定的隐函数——反函数的导数

第八讲 偏导数在几何上的应用

1.问题引入

2.曲面的切平面和法线

3.参数曲面的切平面

4.由方程组所确定的空间曲线的切线

第九讲 方向导数与梯度

1.问题引入

2.1.方向导数的概念——方向导数定义

2.2.方向导数的概念——方向导数与偏导数关系

3.方向导数的计算

4.1.梯度及其几何意义——梯度的概念

4.2.梯度及其几何意义——梯度的几何意义

第十讲 多元函数的泰勒公式

1.问题引入

2.海赛矩阵

3.多元函数的泰勒公式

4.近似计算

第十一讲 多元函数的极值

1.问题引入

2.多元函数极值的概念

3.多元函数极值的必要条件

4.1.多元函数极值的充分条件——二元函数的情形

4.2.多元函数极值的充分条件——最大利润问题

第十二讲 条件极值

1.问题引入

2.条件极值的概念

3.条件极值的几何判定

4.1.拉格朗日乘子法——分析推导

4.2.拉格朗日乘子法——简单应用

第十三讲 极值的应用

1.问题引入

2.多个约束条件的极值

3.条件极值方法的应用

4.最小二乘法

第二章 重积分

第十四讲 二重积分与三重积分的概念和性质

1.问题引入

2.1.几个与重积分有关的实际问题——曲顶柱体的体积

2.2.几个与重积分有关的实际问题——平面薄片与立体的质量

3.重积分的定义

4.重积分的性质

第十五讲 直角坐标下二重积分的计算

1.问题引入

2.X-型区域上的二重积分计算

3.Y-性区域上的二重积分计算

4.交换累次积分次序方法

5、对称区域上的二重积分

第十六讲 直角坐标下三重积分的计算

1.问题引入

2.投影区域积分法

3.截面法

4.对称区域上的三重积分

第十七讲 极坐标下二重积分的计算

1.问题引入

2.区域的极坐标描述

3.1.极坐标形式的二重积分——极坐标变换公式

3.2.极坐标形式的二重积分——利用极坐标变换计算积分

第十八讲 柱坐标下三重积分的计算

1.问题引入

2.空间区域的柱坐标描述

3.1.柱坐标下三重积分的计算——积分计算的一般步骤

3.2.柱坐标下三重积分的计算——积分计算实例

第十九讲 球坐标下三重积分的计算

1.问题引入

2.空间区域的球坐标描述

3.1.球坐标下三重积分的计算——积分计算的一般步骤

3.2.球坐标下三重积分的计算——积分计算实例

第二十讲 重积分的一般变换

1.问题引入

2.重积分的一般坐标变换公式

3.广义极坐标与广义球坐标

4.一般变换的例子

第二十一讲 重积分的应用

1.问题引入

2.平面薄片与立体的质心

3.转动惯量

4.物体对质点的引力

参考资料

朱健民,李建平,高等数学(第二版)(上、下),高等教育出版社,2015年

李建平,朱健民,高等数学的典型例题与解法(上、下),国防科技大学出版社,2003年

李建平,朱健民等,高等数学课程实验,科学出版社,2011年