复变函数
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spContent=也许你我曾因高等数学在线结缘,是否还在为微积分理论梦萦魂牵? 精心为你打造的复变函数MOOC,将带来复数世界百分之百的体验。 同样是极限连续导数积分诸概念,却揭示函数可导级数展开新内涵。 众多数学分支能看到复变的身影,灵动音符平静流体里面也有复变……
—— 课程团队
课程概述

复变函数又称复变函数论,它是由微积分理论发展起来的,理论优美而深刻,在数学的其他分支及工程技术领域有着非常广泛的应用。经典的复变函数论即为解析函数论,主要由积分理论、级数理论与共性映照理论等三部分构成,分别由柯西(A.L.Cauchy)、维尔斯特拉斯(K.T.W.Weierstrass)和黎曼(G.F.B.Riemann)为代表的数学家创立。积分理论中的柯西积分定理与柯西积分公式是整个解析函数论的基础,它们从积分的角度刻画了解析函数的特性;级数理论用函数的级数展开来刻画解析函数,揭示了函数的解析性与级数展开的内在联系,同时也为计算复积分和实积分提供了重要方法;共性映照理论研究平面上区域之间的联系,使解析函数构成平面区域之间的桥梁,也使得解析函数获得了更大的应用空间。

复变函数是本科数学专业和部分非数学理科专业和工科专业的必修课程,本课程包括各层次本科数学专业复变函数课程的主要内容,同时兼顾其他各专业对复变函数内容的需求。


授课目标

通过本门课程的学习,学习者正确理解有关复变函数的基本概念,掌握复变函数基本理论中所包括的积分、级数和共形映射的内容和方法,培养和提高应用复变函数理论描述和解决工程技术问题的能力,同时为学习一些后续课程打下坚实的复分析基础。

课程大纲

第一周

1.2 复平面的拓扑单元测验题

1.1 复数及其几何表示

1.2 复平面的拓扑

1.1 复数及其几何表示单元测验题

绪论

第二周

2.1 解析函数

2.1 解析函数单元测验

2.2 初等函数

2.2 初等函数单元测验

第三周

3.1 柯西定理单元测验

3.1 柯西定理

2.2 初等函数(续)

第四周

3.2 柯西公式单元测验

3.2 柯西公式

3.1 柯西定理(续)

第五周

4.1 级数和序列的基本性质单元测验

4.2 泰勒展式

4.1 级数和序列的基本性质

第六周

4.2 泰勒展式单元测验

4.2 泰勒展式(续)

4.3 洛朗展式

第七周

4.3 洛朗展式单元测验

5.1 留数一般理论

4.3 洛朗展式(续)

第八周

5.2 留数计算的应用(1)单元测验

5.2 留数计算的应用

第九周

5.2 留数计算的应用(2)单元测验

5.2 留数计算的应用(续)

6.1 单叶解析函数的映射性质单元测验

6.1 单叶解析函数的映射性质

第十周

6.2 分式线性函数及其映射性质单元测验

6.2 分式线性函数及其映射性质

第十一周

6.3 黎曼定理

6.3 黎曼定理

第十二周

7.1 调和函数及其性质

7.1 调和函数及其性质单元测验

7.2 狄利克雷问题

6.4 多角形映射公式

模拟考试

复变函数模拟考试题

模拟考试说明

预备知识

高等数学(或微积分)

证书要求

课堂测试与作业占30%,论坛占10%,期末考试占60%,按百分制计分,60分至84分为合格,85分至100分为优秀。

参考资料

1. 余家荣,复变函数(第五版),高等教育出版社,2014

2. 王绵森,复变函数,高等教育出版社,2008

3. T.Needham,复分析(可视化方法)[英],人民邮电出版社,2007

4. 普利瓦洛夫,复变函数引论(闵嗣鹤等译),哈尔滨工业大学出版社,2013

5. J.W.Brown, R.V.Churchill, 复变函数及其应用(邓冠铁等译),机械工业出版社,2004