国防科学技术大学

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课程概述

微积分是关于运动和变化的数学,是牛顿与莱布尼茨在总结前人经验的基础上,于17世纪后期建立起来的。微积分是人类智慧的结晶,广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等各个领域, 恩格斯对此有非常高的评价——“在一切理论成就中,未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了!”本课程以微积分理论的重要概念——函数、极限、连续、导数、积分等为主线,系统讲授一元函数微积分理论,为进一步学习多元函数微积分理论及其他相关课程奠定基础。


证书要求

课堂测试与作业占30%,论坛占10%,期末考试占60%,按百分制计分,60分至84分为合格,85分至100分为优秀。

预备知识

高中数学

授课大纲


第0章 绪论

第一讲 微积分纵览

1、微积分创立背景

2.1、几个微积分问题——如何求平面图形面积

2.2、几个微积分问题——如何求平面曲线切线

2.3、几个微积分问题——如何求无穷多个数的和

3、如何学习微积分

第二讲 如何用Mathematica做微积分

1、问题引入

2.1、Mathematica基本操作——界面简介

2.2、Mathematica基本操作——基本运算与数

2.3、Mathematica基本操作——函数与列表处理

3、绘制图形

4.1、微积分基本计算——解方程与不等式

4.2、微积分基本计算——导数与微分

4.3、微积分基本计算——求积分与解微分方程

 

第一章 映射与函数

第三讲 集合与映射

1、问题引入

2.1、集合的概念与运算——集合的概念

2.2、集合的概念与运算——集合的运算性质

2.3、集合的概念与运算——直积的概念

3、确界与连续性公理

4、区间与邻域

5、映射

6、集合的比较

第四讲 函数的概念与性质

1、问题引入

2、函数的概念

3、函数的例子

4、函数的运算

5.1、函数的简单特性——单调性与有界性

5.2、函数的简单特性——奇偶性与周期性

第五讲 初等函数

1、问题引入

2.1、基本初等函数——幂函数与指数函数

2.2、基本初等函数——三角函数与反三角函数

3、初等函数

4、双曲函数

第六讲 曲线的参数方程与极坐标方程

1、问题引入

2.1、曲线的参数方程——参数方程概念

2.2、曲线的参数方程——直角坐标方程化与参数方程

2.3、曲线的参数方程——常见曲线的参数方程

3.1、极坐标与极坐标方程——极坐标系

3.2、极坐标与极坐标方程——曲线的极坐标表示

4.1、圆锥曲线——圆锥曲线的定义

4.2、圆锥曲线——圆锥曲线极坐标方程

 

第二章数列极限与函数极限

第七讲 数列极限的概念

1、问题引入

2、数列极限的直观描述

3、数列极限的算术定义

4、数列极限的几何解释

5、割圆术与圆周率

第八讲 数列极限的性质

1、问题引入

2.1、数列极限的基本性质——惟一性

2.2、数列极限的基本性质——有界性

2.3、数列极限的基本性质——保号性

3.1、数列极限的运算法则——四则运算法则

3.2、数列极限的运算法则——四则运算法则的应用

第九讲 数列收敛的判定方法

1、问题引入

2.1、夹逼定理——定理证明

2.2、夹逼定理——定理应用

3.1、单调有界原理——定理证明

3.2、单调有界原理——定理应用

4、区间套定理

第十讲 函数极限的概念

1、问题引入

2、连续变量的变化过程

3、函数极限例子

4.1、函数极限的定义——在无穷远处的情形

4.2、函数极限的定义——在有限点处的情形

4.3、函数极限的定义——极限存在性讨论

第十一讲 函数极限的性质与运算法则

1、问题引入

2、函数极限的性质

3、函数极限的四则运算法则

4、复合运算的极限

第十二讲 函数极限存在性的判定准则

1、问题引入

2、函数极限与数列极限的关系

3、夹逼定理

4.1、两个重要极限及应用——重要极限之一

4.2、两个重要极限及应用——重要极限之二

4.3、两个重要极限及应用——重要极限的应用

第十三讲 无穷小量与无穷大量

1、问题引入

2、无穷小的概念

3、无穷小的运算性质

4、无穷大与铅直渐近线

5.1、无穷小的比较——无穷小的比较的概念

5.2、无穷小的比较——常用等价无穷小关系及其应用

 

第三章 连续函数

第十四讲 函数连续的概念

1、问题引入

2.1、连续函数的概念——函数在一点连续

2.2、连续函数的概念——函数在区间上连续

3.1、间断点及其类型——间断点的概念

3.2、间断点及其类型——与间断点有关的问题

第十五讲 连续函数的运算

1、问题引入

2.1、连续函数的运算法则——四则运算法则

2.2、连续函数的运算法则——复合运算法则

2.3、连续函数的运算法则——求逆运算法则

3、初等函数的连续性

4、压缩映像原理

第十十六 闭区间上连续函数的性质

1、问题引入

2.1、最值定理——最值的概念与最值定理

2.2、最值定理——最值定理的证明

3.1、零值定理与介值定理——定理证明

3.2、零值定理与介值定理——定理应用

 

第四章 导数与不定积分

第十七讲 导数概念

1、问题引入

2、问题求解

3、导数的定义及几何意义

4、导数存在的条件

5、导函数

第十八讲 导数运算法则

1、问题引入

2.1、求导法则——四则运算法则

2.2、求导法则——反函数与复合函数求导法则

3、基本初等函数求导公式

4、导数综合计算

第十九讲 高阶导数

1、问题引入

2、高阶导数

3、隐函数的导数

4、参数方程确定函数的导数

第二十讲 局部线性化与微分

1、问题引入

2、微分的概念

3、微分在近似计算中的应用

4、一阶微分形式的不变性

5、高阶微分

第二十一讲 导数在实际问题中的应用

1、问题引入

2、变化率

3、相关变化率

第二十二讲 不定积分的概念与性质

1、问题引入

2、原函数

3、不定积分的概念与性质

4、不定积分基本公式

5、不定积分的简单应用

 

第五章 导数的应用

第二十三讲 函数的极值及最优化应用

1、问题引入

2、极值的概念

3、可微函数极值的必要条件

4、极值判定的一个充分条件

5、求最大值与最小值

第二十四讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理

1、问题引入

2、罗尔定理

3、拉格朗日中值定理

4、微分中值定理应用

第二十五讲 柯西中值定理与洛必达法则

1、问题引入

2、柯西中值定理

3.1、洛必达法则——法则的几种情形

3.2、洛必达法则——不定型极限的计算

第二十六讲 函数的多项式逼近

1、问题引入

2、泰勒多项式

3、几个初等函数的麦克劳林多项式

4、逼近效果的图形演示

第二十七讲 泰勒公式

1、问题引入

2、误差估计及泰勒公式

3、几个初等函数的麦克劳林公式

4、间接法求泰勒公式

第二十八讲 泰勒公式的应用

1、问题引入

2、近似计算

3、极限计算

4、问题证明

第二十九讲 函数的单调性与凹凸性

1、问题引入

2.1、函数的单调性判定——单调性判定方法

2.1、函数的单调性判定——极值第一充分条件

2.3、函数的单调性判定——极值第二充分条件

3.1、函数凹凸性及其判定——凸函数的概念

3.2、函数凹凸性及其判定——函数凸性判别方法

第三十讲 利用导数研究函数的几何性态

1、问题引入

2、函数图形的几何性态回顾

3、函数图形的渐近线

4、函数的几何性态研究

第三十一讲 曲率

1、问题引入

2、弧微分

3.1、曲率的概念及计算——曲率的定义

3.2、曲率的概念及计算——曲率的计算

4、曲率半径与曲率圆

 

第六章 定积分及其应用

第三十二讲 定积分的概念

1、问题引入

2、几个典型的定积分问题

3、定积分的定义

4、定积分的几何意义

5、定积分的基本性质

第三十三讲 定积分的性质

1、问题引入

2、函数的可积性

3、定积分求特殊和式的极限

4、积分中值定理

第三十四讲 微积分基本公式

1、问题引入

2、微积分基本公式

3、变限积分函数

4、原函数的存在性

5、变限积分的综合应用

第三十五 积分的变量替换法

1、问题引入

2、不定积分的第一类换元法

3、不定积分的第二类换元法

4、定积分的换元法

第三十六讲 积分的分部积分法

1、问题引入

2.1、不定积分的分部积分法——基本计算

2.2、不定积分的分部积分法——递推公式

3.1、定积分的分部积分法——基本计算

3.2、定积分的分部积分法——华莱士公式

第三十七讲 积分计算综合

1、问题引入

2、几类积分计算总结

3、奇偶函数的定积分

4、周期函数的定积分

第三十八讲 定积分的几何应用

1、问题引入

2.1、平面图形的面积——面积的积分表示

2.2、平面图形的面积——面积的计算

3.1、体积——已知截面面积立体的体积

3.2、体积——已知截面面积立体的体积

第三十九讲 定积分的物理应用

1、问题引入

2、功

3、静压力

4、引力

参考资料


1】朱健民,李建平.高等数学(第二版)(上、下).北京:高等教育出版社,2015年.


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下册购买链接:http://www.hepmall.com/index.php/product-16799.html


2】李建平,朱健民.高等数学的典型例题与解法(上、下).长沙:国防科技大学出版社,2003年.

3】李建平,朱健民等.高等数学课程实验.北京:科学出版社,2011年.

4】李建平,朱健民等.高等数学试题汇编.长沙:国防科技大学出版社,2013年.