1、为什么要学习这门课？

“线性代数与空间解析几何”对传统内容进行了重新处理，特别是代数与几何的结合，将矩阵的初等变换作为贯穿全书的计算和重要的理论推导工具，注重不同知识点与重要理论的内在本质联系，将几何空间、n维向量空间到抽象线性空间概念的建立从特殊到一般进行铺垫，精选了大量的应用实例，注重将数学建模思想融入课程教学等。这使得 “线性代数与空间解析几何”在理论体系的处理上更加科学简洁、深入浅出、可读性强、易教易学。

2、这门课的主要内容是什么？

“线性代数与空间解析几何”主要内容包括矩阵及其初等变换、行列式、几何空间、“维向量空间、特征值与特征向量、二次型与二次曲面、线性空间与线性变换等。本课程每章内容自成体系，完全满足教育部大学数学课程教学指导委员会制订的工科类线性代数与空间解析几何课程教学要求，也可以作为独立章节学习的参考资料。

3、学习这门课可以获得什么？

在 “线性代数与空间解析几何”的学习过程中，我们可以发现线性代数和空间解析几何中有很多相似之处，确切的说是线性代数中的一些理论是从空间解析几何中发展和改进而来的。如通过空间解析几何中多元一次方程组的解法线性代数提出了行列式，使行列式有了几何意义，同时是行列式直观化。也是通过行列式，多元方程组的解答更便捷、快速。又比如在线性代数中先后提出来线性空间、欧氏空间。线性空间也将向量做了推广，使向量抽象化。欧氏空间也在线性空间的基础上提出内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化，等等，这样的例子很多很多。总体来说线性代数与空间解析几何是相互联系、相互促进的。可以更确切一点的说是空间解析几何是线性代数的基石，而线性代数是空间解析几何的推广和并使之抽象化。

4、这门课有什么特色？

线性代数是代数的一个分支，它以研究向量空间与线性映射为对象；由于费尔马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。十九世纪上半叶才完成了到维向量空间的过渡。矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点．1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。由于它的简便，所以就代数在数学和物理的各种不同分支的应用来说，线性代数具有特殊的地位．此外它特别适用于电子计算机的计算，所以它在数值分析与运筹学中占有重要地位。

空间解析几何是以坐标法和向量法作为主要的研究工具，用代数方法来研究几何图形的几何学。产生于十六世纪，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。而线性代数是用矩阵和向量等工具来研究多变量之间的线性关系。因此，空间解析几何与线性代数紧密相关。事实上，几何为线性代数中许多概念和理论提供了几何背景或几何解释，而线性代数为几何问题的解决提供了有效的方法。

5、本次讲授有什么亮点？

为了满足新世纪科技人才对数学素质的要求,针对目前高等院校(特别是一般本科院校)的教学实际,本门课程的教学内容的安排及要求需注意以下几点：

一）抓住课程本质，选择合理的课程教学内容与体系结构．在保证教材内容科学性的前提下，本课程内容的安排应由浅入深的内容次序以及简捷、直观的理论体系；从线性方程组解的三种不同情况出发，直观地建立相关的定理，从而降低向量线性相关性研究的抽象性与复杂性；根据需要可构作一些新的引理与定理，定理的证明应尽量简便．几何与代数内容有机结合，从三维向量空间到n维向量空间的应自然过渡；在空间解析几何部分可构作一些典型的例子，成为向量线性相关性及向量空间的正交性等抽象概念的引例．

二）强调矩阵初等变换的突出作用．矩阵的初等变换是整个课程的一重要方法，应在尽可能多的场合，反复使用矩阵初等变换来解决相关的计算问题，使它成为贯穿全书的计算工具．同时，不少定理的理论推导尽可能使用矩阵初等变换，以便定理的证明变得直观、易于理解．

三）把数学建模的思想与方法渗透到教材内容中去，强调数学知识的应用．注重应用背景及应用实例的介绍，开设数学实验课以培养学生应用数学知识解决实际问题的意识与能力．

四）选择适当的教学定位．高等教育已从精英教育转到大众化教育，针对一般高等学校的教学实际，学内容的选择应适当（特别是在例题及习题方面）。

6、课程性质

“线性代数与空间解析几何”课程在高等理工科院校是理、工、经管等本科生教学计划中的一门必修的基础理论课，该课程是北京交通大学理学院工科数学基地重点建设课程之一。该课程是以讨论矩阵理论、有限维向量空间、线性变换理论及其二次方程的图形等问题而发展起来的一门数学学科。其主要内容分7部分：行列式、矩阵及其运算、空间解析几何与向量代数、n维向量、线性方程组、相似矩阵及二次型、线性空间与线性变换。

该课程主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现（见于我国古代数学名著《九章算术》）。该课程具有较强的抽象性与逻辑性，通过本课程的学习，要使学生掌握科学研究中常用的矩阵方法、线性方程组、二次型以及二次曲面理论等基本知识，并具有熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决实际问题的能力，从而为学习后继课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础，同时使学生抽象思维能力受到一定的训练。

7、学习任务

① “线性代数与空间解析几何”在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；

② 在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以 “线性代数与空间解析几何”为其理论和算法基础的一部分；

③ 该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的；

④ 随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来， “线性代数与空间解析几何”正是解决这些问题的有力工具。

 空间解析几何是以坐标法和向量法作为主要的研究工具，用代数方法来研究几何图形的几何学。产生于十六世纪，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。而线性代数是用矩阵和向量等工具来研究多变量之间的线性关系。因此，空间解析几何与线性代数紧密相关。事实上，几何为线性代数中许多概念和理论提供了几何背景或几何解释，而线性代数为几何问题的解决提供了有效的方法。

为了满足新世纪科技人才对数学素质的要求,针对目前高等院校(特别是一般本科院校)的教学实际,本门课程的学习内容的安排及要求需注意以下几点：

一）抓住课程本质，选择合理的课程教学内容与体系结构．在保证教材内容科学性的前提下，本课程内容的安排应由浅入深的内容次序以及简捷、直观的理论体系；从线性方程组解的三种不同情况出发，直观地建立相关的定理，从而降低向量线性相关性研究的抽象性与复杂性；根据需要可构作一些新的引理与定理，定理的证明应尽量简便．几何与代数内容有机结合，从三维向量空间到n维向量空间的应自然过渡；在空间解析几何部分可构作一些典型的例子，成为向量线性相关性及向量空间的正交性等抽象概念的引例．

二）强调矩阵初等变换的突出作用．矩阵的初等变换是整个课程的一重要方法，应在尽可能多的场合，反复使用矩阵初等变换来解决相关的计算问题，使它成为贯穿全书的计算工具．同时，不少定理的理论推导尽可能使用矩阵初等变换，以便定理的证明变得直观、易于理解．

三）把数学建模的思想与方法渗透到教材内容中去，强调数学知识的应用．注重应用背景及应用实例的介绍，开设数学实验课以培养学生应用数学知识解决实际问题的意识与能力．

四）选择适当的教学定位．高等教育已从精英教育转到大众化教育，针对一般高等学校的教学实际，学内容的选择应适当（特别是在例题及习题方面）。

   具有中学知识的学生，均可正常学习本课程。

[1] 黄廷祝等，《线性代数与空间解析几何》（第六版），高等教育出版社， 2022.7

[2] 冯国臣等，《线性代数与解析几何》，北方交通大学出版社， 2007.9

[3] 陈治中，《线性代数与解析几何辅导》，北方交通大学出版社， 2004.7

[4] 俞正光等，《线性代数与解析几何》，清华大学出版社， 1998.5

[5] 杨奇等，《线性代数与解析几何》，天津大学出版社，2002.10

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